《练习1物体的平衡问题》由会员分享，可在线阅读，更多相关《练习1物体的平衡问题（31页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、v1.0可编辑可修改练习1物体的平衡问题一、知识点击物体相对于地面处于静止、匀速直线运动或匀速转动的状态， 称为物体的平衡状态，简称 物体的平衡.物体的平衡包括共点力作用下物体的平衡、具有固定转动轴的物体的平衡和一般物体的平衡.当物体受到的力或力的作用线交于同一点时，称这几个力为共点力.物体在共点力作用下， 相对于地面处于静止或做匀速直线运动时， 称为共点力作用下物体的平衡.当物体在外力的作 用下相对于地面处于静止或可绕某一固定转动轴匀速转动时，称具有固定转动轴物体的平 衡当物体在非共点力的作用下处于平衡状态时，称一般物体的平衡.解决共点力作用下物体的平衡问题，或具有固定转动轴物体的平衡问题，
2、或一般物体的平 衡问题，首先把平衡物体隔离出来，进行受力分析，然后根据共点力作用下物体的平衡条件： 物体所受的合外力为零，即刀F= 0 (如果将力正交分解，平衡的条件为：刀 Fx =0、刀Fy=O); 或具有固定转动轴的物体的平衡条件： 物体所受的合力矩为零，即刀M= 0;或一般物体的平衡 条件：刀F= 0;刀M= 0列方程，再结合具体问题，利用数学工具和处理有关问题的方法进行 求解.物体的平衡又分为随遇平衡、稳定平衡和不稳定平衡三种.一、稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩使物体返回平衡位置，这 样的平衡叫做稳定平衡如图1 1 (a)中位于光滑碗底的小球的平衡状态就是稳定的.
3、二、不稳定平衡：如果在物体离开平衡位置时发生的合力或合力矩能使这种偏离继续增大， 这样的平衡叫做不稳定平衡，如图1 1(b)中位于光滑的球形顶端的小球，其平衡状态就是不 稳定平衡.三、随遇平衡：如果在物体离开平衡位置时，它所受的力或力矩不发生变化，它在新的位置上仍处于平衡，这样的平衡叫做随遇平衡，如图1-1 (c)中位于光滑水平板上的小球的平图11v1.0可编辑可修改2 # / 18从能量方面来分析，物体系统偏离平衡位置，势能增加者，为稳定平衡；减少者为不 稳定平衡；不变者，为随遇平衡.如果物体所受的力是重力，则稳定平衡状态对应重力势能的极小值，亦即物体的重心有 最低的位置.不稳定平衡状态对应
4、重力势能的极大值， 亦即物体的重心有最高的位置.随 遇平衡状态对应于重力势能为常值，亦即物体的重心高度不变.、方法演练类型一、物体平衡种类的问题一般有两种方法解题，一是根据平衡的条件从物体受力或力矩的特征来解题，二是根据物体发生偏离平衡位置后的能量变化来解题。例1.有一玩具跷板，如图1-2所示，试讨论它的稳定性(不考虑杆的质量).m图13【分析与解】假定物体偏离平衡位置少许，看其势能变化是处理此类问题的主要手段之一，本题要讨论其稳定性，可假设系统发生偏离平衡位置一个B角，贝在平衡位置，系统的重力势能为E(0)2(L I cos )mg当系统偏离平衡位置B角时，如图1-3所示，此时系统的重力势能
5、为E( ) mgLcos I cos( ) mgLcos I cos( )2mgcos (L I cos )EP E( )E(0) 2mg(cos 1)(L I cos )故只有当L l cos时，才是稳定平衡.例2.如图1-4所示，均匀杆长为a, 端靠在光滑竖直墙上，另一端靠在光滑的固定曲 面上，且均处于Oxy平面内.如果要使杆子在该平面内为随遇平衡，试求该曲面在Oxy平面内的曲线方程.【分析与解】本题也是一道物体平衡种类的问题，解此题显然也是要从能量的角度来考虑 问题，即要使杆子在该平面内为随遇平衡，须杆子发生偏离时起重力势能不变，即杆子的 质心不变，yc为常量。1又由于AB杆竖直时yc
6、-a，那么B点的坐标为x a sina(1 cos )21 1a acos2 2消去参数得2 2 2x (2 y a) a类型二、物体系的平衡问题的最基本特征就是物体间受力情况、平衡条件互相制约，情况复杂解题时一定要正确使用好整体法和隔离法，才能比较容易地处理好这类问题。例3.三个完全相同的圆柱体，如图1-6叠放在水平桌面上，将C柱放上去之前，A、B两 柱体之间接触而无任何挤压，假设桌面和柱体之间的摩擦因数为卩0,柱体与柱体之间的摩 擦因数为卩，若系统处于平衡，卩0与卩必须满足什么条件图 15图 16E1-7【分析与解】这是一个物体系的平衡问题，因为A、B、C之间相互制约着而有单个物体在v1.
7、0可编辑可修改力系作用下处于平衡，所以用隔离法可以比较容易地处理此类问题设每个圆柱的重力均为G,首先隔离C球，受力分析如图1-7所示，由刀FCy= 0可得# 4 / i8再隔留A球，受力分析如图1-8所示，由刀FAy=0得.3Ri1-fi N2 G 02由刀Fax=0得由刀Ea= 0得fiR f?R由以上四式可得_Ni_2”3iNi 1G，N23g2而 f20N2，fiNi类型三、物体在力系作用下的平衡问题中常常有摩擦力，而摩擦力 Ff与弹力Fn的合力凡 与接触面法线方向的夹角B不能大于摩擦角， 这是判断物体不发生滑动的条件.在解题中 经常用到摩擦角的概念.例4.如图i-8所示，有两根不可伸长
8、的柔软的轻绳，长度分别为li和12，它们的下端在C点相连接并悬挂一质量为m的重物，上端分别与质量可忽略的小圆环 A、B相连，圆环套 在圆形水平横杆上.A、B可在横杆上滑动，它们与横杆间的动摩擦因数分别为卩i和卩2, 且li l2。试求卩i和卩2在各种取值情况下，此系统处于静态平衡时两环之间的距离 ABv1.0可编辑可修改ffll8图图 1_10【分析与解】本题解题的关键是首先根据物体的平衡条件，分析小环的受力情况得出小环的平衡条件Ff Fn，由图1-9可知FfFt sinFnFt COStan2 # / 18定义 tan ,为摩擦角，在得出摩擦角的概念以后，再由平衡条件成为展开讨论则解此题就方
9、便多了。即由tan tan情况1： BC绳松弛的情况0 1=0，不论卩1、卩2为何值，一定平衡。情况2：二绳均张紧的情况（图 1-10）A环不滑动的条件为:11，即 tan 1 tan 1于是有COS 11an2 1 1cos 1sin 1tan 1tan2 1 1sin又由图1-11知CD h cos 1 I2 cos 2sin 21 cos2 2所以，若要A端不滑动，AB必须满足v1.0可编辑可修改I；1112 1根据对称性，只要将上式中的下角标1、2对调,即可得出B端不滑动时,AB必须满足的11 1AB h sin 11 Jsin 2121# 7/18条件为：AB I2 2/I 1如果系
10、统平衡，两式必须同时满足。从式可以看出，卩i可能取任意正值和零，当卩1=0 时,AB只能取最小值I；，此时9 1=0，I2拉直但无张力。从式可以看出卩2的取值满足2A否则AB无解，212 1时，AB取最小值I综上所述，AB的取值范围为:情况 1： I2 松弛 0 AB -.I； I；，卩 1、卩2为任意非负数情况2： *张紧12 AB 两式右边较小的，卩1为任意非负数,2；1 0类型四、一般物体平衡条件的问题主要又分为刚体定轴转动平衡问题和没有固定转动轴的 刚体转动平衡问题，这类问题要按一般物体平衡条件来处理，即要么既要考虑力的平衡， 又要考虑力矩平衡来求解；要么就要考虑以哪点为转动轴或哪点先
11、动的问题。例5.质量分别为m和 M的两个小球用长度为I的轻质硬杆连接，并按图1-11所示位置那样处于平衡状态杆与棱边之间的摩擦因数为卩，小球m与竖直墙壁之间的摩擦力可以不计.为使图示的平衡状态不被破坏，参数 m M卩、I、a和 应满足什么条件分析和解：本题是一道典型的刚体定轴转动平衡问题， 解题时对整体进行受力分析，但物 体的平衡不是共点力的平衡，处理时必须用正交分解法，同时还要考虑力矩的平衡，受力 分析如图，根据力的平衡条件可列出:NcosFmsi n(M m)gNsin 2 Fm cos根据力矩平衡条件可写出：NaMgl coscos杆不滑动的条件为Fm 0。由和可得出2 Fmcos N
12、sin(M m)g N cossincos N sin 0由此可得(M m)g cosN将中的N代人得.m l1cosM a由于Icos a，再考虑不等式，可得1 ros1 M icos2 (cos sin)为了在不等式中能同时满足最后两个不等号，就必须满足条件:cos (cos sin ) 1由此可得平衡条件为：tan ，如果 tan，就不可能出现平衡.例6.如图1-12，匀质杆长I，搁在半径为R的圆柱上，各接触面之间的摩擦因数均为卩，求平衡时杆与地面的夹角a应满足的关系.图 112【分析与解】本题也是一个一般物体的平衡问题与 上题的区别在于没有固定转动轴，所以这个问 题的难点在于系统内有三
13、个接触点，三个点上的 力都是静摩擦力，不知道哪个点最先发生移动. 我们先列出各物体的平衡方程：设杆和圆柱的v1.0可编辑可修改重力分别为G和G2对杆刀 Fx=0F f3 + Ff2C0S a =FN2Sin a刀 Fy=0F N3+ Fn2C0S a +Ff2sin a =G刀 M =0G1cosFn 2 R cos2 2对柱刀 Fx=0F fi + Ff2cos a =FN2sin a刀 Fy=0F f2sin a +G + Fn2Cos a =Fni刀 M=0F fi =Ff2刀 MO =0 F n2+G=Fni以上七个方程中只有六个有效，由式可知，FniFn2,又因为Ffi =Ff2 ,
14、所以一定是2 z处比1处容易移动，再来比较2处和O处.(1)如果是2处先移动，必有F f2=Fn2,代入式,可得聞三,将此结果代入式,18 # / 18即有Ff3G1L (1 _22R(1 一卩伽cos )FN3Gi12l (1 匚.2 ( sin2R(12)cos )在这种情况下,如要Ff3 J FN3,必须有(1 2)(1 2)杆要能搁在柱上，当然要Rltan 2因此在l ltan 2R (1(12)U2 时,a =2arctan 卩。(2)如果是0处先移动，必有Ff3=U Fn3,代入式，可有Ff2 FN2tan2tanFn2 Gi l cos 2R2R l cos(1 丄tan ) tan
