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1、算术平均值及中误差(一)算术平均值当观测值的真值未知时，通常取多次观测值的算术平均值作为最后结果，并认为它时最可靠的，用来代替真值。算术平均值比组内任一观测值更为接近于真值，证明如下：设对某量进行一组等精度观测，观测值分别为匚丄2 ,，Ln，未知量的真值为X，观测值的真误差分别为：冷，厶2,，行则氐i = x Li2 = x - L?4 28 !二 n = X _ Ln将上式取和再除以 n,得.:L-XXL429nn式中：匚观测值得算术平均值，显然4 304 31x ;当n为有限时，算术-I.L1:Lx -nn根据偶然误差的第四个特性，有-dlim L = x -lim ()=xn观测次数n无
2、限增大时，算术平均值L趋近于未知数的真值平均值最接近于真值，称其为最或然值，或称最可靠值。(二)算术平均值中误差观测值的最或然值与观测值之差，称为观测值改正数。当等精度观测时，算术平均值L与观测值I之差，即为观测值 V。M j V2 = L L2 :4 32Vn = L - Ln ,则有V 亠 nL -L 丨4 33-L由式L代入可知：nV 亠 0434(4-34)式说明观测值改正数的一个重要特征：在等精度观测条件下，观测值改正数的总和为零。在实际测量工作中，观测值的真值x是未知的，在等精度观测中，往往只知道算术平均值L和观测值改正数 V，这就不能用（4-5）式来计算观测值的中误差。而用观测值
3、的改正数V代替真误差，可推导出计算观测值的中误差公式（4-8）式:VV 1n -1上式称白塞尔公式。现根据观测值的中误差，计算算术平均值中误差M。由算术平均值计算公式 L = Ll J，利用误差传播定律得:n2 1 2 1 2 1 2 M2 m-i2 m22 mnnnn由于是等精度观测，则有：4 35可得:将（4-8）式代入得:m-二 m2 _4 36437Vvln(n -1)438（4-37）式表明，算术平均值中误差为观测值的中误差的，M恒小于m,所以在实际工作中，可以用算术平均值作为观测结果，增加观测次数，可提高观测精度。例6:设用经纬仪测量某角度 6个测回，观测值见下表，求观测值的中误差m、算术平均值L及其中误差M。观测次序观测值li(=)()Q改正数vi（）vv计算155 2 49-416-U 334 1610L n6=55 42*45255 2 40525355 2 42+39455 2 46-11555 2 48-39m =于田=于叵Y n -16-1= 3.5“655 2 4500求和v=0vv=60经纬仪测量某角度 6个测回观测值表4 3利用白塞尔公式计算观测值的中误差m，利用（4 36）计算算术平均值的中误差 M，M最后结果及其精度为：1.4m 壬厂Vv】斗60=.n = n(n 1) = _ 6 (6一1)L =55 42 45 _1.4
