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1、高中数学常用的数学思想一、函数与方程思想函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题。方程思想，是 从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型(方程、不等式、或方程与不等式的混合组)，然后通过解方程(组)或不等式(组)来使问题获解。有时，还 实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的。笛卡尔的方程思想是：实际问题T数学问题T代数问题T方程问题。宇宙世界，充斥着 等式和不等式。我们知道，哪里有等式，哪里就有方程；哪里有公式，哪里就有方程；求值 问题是通过解方程来实现的等等；不等式问题也与方程是近亲，密切相关。而函数和多元方程没有什么本质的区别，如函数
2、y = f(x)，就可以看作关于 x、y的二元方程f(x) y=0。可以说，函数的研究离不开方程。列方程、解方程和研究方程的特性，都是应用方程 思想时需要重点考虑的。函数描述了自然界中数量之间的关系，函数思想通过提出问题的数学特征，建立函数关 系型的数学模型，从而进行研究。它体现了“联系和变化”的辩证唯物主义观点。一般地， 函数思想是构造函数从而利用函数的性质解题，经常利用的性质是：f(x)、f(x)的单调性、奇偶性、周期性、最大值和最小值、图像变换等，要求我们熟练掌握的是一次函数、二次函 数、幕函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特性。在解题中，善于挖掘题目中的隐 含条件，构造出函数解析
3、式和妙用函数的性质，是应用函数思想的关键。 对所给的问题观察、分析、判断比较深入、充分、全面时，才能产生由此及彼的联系，构造出函数原型。另外， 方程问题、不等式问题和某些代数问题也可以转化为与其相关的函数问题，即用函数思想解答非函数问题。函数知识涉及的知识点多、面广，在概念性、应用性、理解性都有一定的要求，所以是 高考中考查的重点。我们应用函数思想的几种常见题型是：遇到变量，构造函数关系解题； 有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，利用函数观点加以分析；含有多个变量 的数学问题中，选定合适的主变量， 从而揭示其中的函数关系；实际应用问题，翻译成数学 语言，建立数学模型和函数关系式，应用
4、函数性质或不等式等知识解答；等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成 n的函数，数列问题也可以用函数方法解决。例设f(x)=lg12x 4xa3，如果当x (-g ,1时 f(x)有意义，求实数a的取值范围。【分析】当x (- g ,1时f(x)=lg12x 4xa3有意义的函数问题,转化为 1 + 2x + 4xa0在x (- g,1上恒成立的不等式问题。【解】由题设可知，不等式 1+ 2x + 4xa0在x (- g,1上恒成立，1 1即：()2x + ( ) % + a0 在 x (- g ,1上恒成立。2 21 11设t = ()x,则t _ , 又设g(t) = t 2
5、 +1 + a，其对称轴为t = _2 222111 213t +1 + a = 0 在，+ g)上无实根，即 g( ) = ( ) + a0，得 a222243所以a的取值范围是a 4【注】对于不等式恒成立，引入新的参数化简了不等式后，构造二次函数利用函数的图像和单调性进行解决问题，其中也联系到了方程无解，体现了方程思想和函数思想。一般地，我们在解题中要抓住二次函数及图像、二次不等式、二次方程三者之间的紧密联系，将问题进行相互转化。二、数形结合思想中学数学的基本知识分三类：一类是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程(组)、不等式(组)、函数等；一类是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；一
6、类是关于数 形结合的知识，主要体现是解析几何。数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大 致可以分为两种情形：或者是借助形的生动和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质； 或者是借助于数的精确性和规范 严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质。恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的量的关系与空间形式的科学。”数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观， 使数量关的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一
7、起，充分利用这种结合， 寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。华罗庚先生说过：数缺形时少直观，形少数时难 入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休。数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图像结合起来，关键是代数问题 与图形之间的相互转化， 它可以使代数问题几何化， 几何问题代数化。 在运用数形结合思想 分析和解决问题时，要注意三点：第一要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代 数特征，对数学题目中的条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；第二是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，
8、做好数形转化；第三是正确确定参数的取值范 围。数学中的知识，有的本身就可以看作是数形的结合。如：锐角三角函数的定义是借助于 直角三角形来定义的；任意角的三角函数是借助于直角坐标系或单位圆来定义的。2例 若方程lg( x + 3x m)= lg(3 x)在x (0,3)内有唯一解，求实数 m的取值范围。再利【分析】将对数方程进行等价变形， 转化为一元二次方程在某个范围内有实解的问题, 用二次函数的图像进行解决。3 x a 0【解】原方程变形为 2-x +3x_m = 3_x即:丿设曲线y1 = (x 2) 2 , x (0,3)和直线y2 = 1 m图像如图所示。由图可知: 当1 m= 0时，有
9、唯一解，m= 1; 当 K 1 m4时，有唯一解，即一 3mc 0,m = 1 或一3m0、a= 0、a2时分a0、a= 0和a0三种情况讨论。这称为含参型。另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过 分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、 不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象 的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥(没有重复)
10、；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。例4.设函数f(x) = ax2 2x + 2,对于满足1x0，求实数a的取值范围。【分析】 含参数的一元二次函数在有界区间上的最大值、最小值等值域问题，需要先 对开口方向讨论，再对其抛物线对称轴的位置与闭区间的关系进行分类讨论，最后综合得解。1 2 1【解】当 a0 时，f(x) = a (x) 2 + 2aa1-0彳1 ,14a11f(_)= 2 _ 0 i aa1或石 4f(4) = 16a -8+20、11-a a 1 或 a ；22ff (1)= a _2 +20当a。2【注】本题分两级讨论，先对决定
11、开口方向的二次项系数a分a0、a0时将对称轴与闭区间的关系分三种， 即在闭区 间左边、右边、中间。四、化归与转化思想化归与转化即等价转化，是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种 重要的思想方法。通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至 模式法、简单的问题。历年高考，等价转化思想无处不见，我们要不断培养和训练自觉的转 化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧。转化有等价转化与非等价转化。等价转化要求转化过程中前因后果是充分必要的，才保 证转化后的结果仍为原问题的结果。非等价转化其过程是充分或必要的，要对结论进行必要的修正(如无
12、理方程化有理方程要求验根)，它能给人带来思维的闪光点，找到解决问题的突破口。我们在应用时一定要注意转化的等价性与非等价性的不同要求，实施等价转化时确保其等价性，保证逻辑上的正确。著名的数学家，莫斯科大学教授 C.A.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表什么叫解题的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题” 。数学的解题过程，就 是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程。等价转化思想方法的特点是具有灵活性和多样性。在应用等价转化的思想方法去解决数学问题时，没有一个统一的模式去进行。它可以在数与数、形与形、数与形之间进行转换； 它可以在宏观上进行等价转化，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向数学语言的翻译；它可以在符号系统内部实施转换，即所说的恒等变形。 消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题等等，都体现了等价转化思想，我们更是经常在函数、方程、不等式之间进行等价转化。可以说，等价转化是将恒等变形在代数式方面的形变上升到保持命题的真假不 变。由于其多样性和灵活性，我们要合理地设计好转化的途径和方法，避免死搬硬套题型。在数学操作中实施等价转化时，我们要遵循熟悉化、简单化、直观化、标准化的原则， 即把我们遇到的问题，通过转化变成我们比较熟悉的问题来处理；或者将较为繁
