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1、高中数列经典题型大全Document number SA80SAB-SAA9SYT-SAATC-SA6UT-SA18高中数学：递推数列经典题型全面解析类型1 5+1/何解法：把原递推公式转化为“曲-“”=/()，利用累加法(逐差相加法)求解。例：已知数列”满足绚=丄，+1 = 4-，求心。2 n +n类型 2 an+l = f(n)a解法：把原递推公式转化为 = /(),利用累乘法(逐商相乘法)求解。例：已知数列仏满足!=-, anl=af求心。3 n + 例：已知a = 3, % = an (n 1),求心。3/7 + 2类型 3 an+l = pa+q (其中 p, q 均为常数，(pq(
2、p-l)HO)。例：已知数列”中，终=1, %=2+3,求a”.变式：递推式：a=pall+f(n)o解法：只需构造数列仇,消去/(“)带来的差异.关型 4(其中 P，q 均为常数，(pq(p-l)(g-l)HO)。(吗+i=M+w,其中P，q, r均为常数)。例：已知数列 a中,角=：,an+I ran + ()“ 求o32类型5递推公式为an=pa+qan (其中p, q均为常数)。解法一(待定系数一一迭加法)：数列,： 3心+2-55+|+2心=0(心0,皿2),创=g=b,求数列仏的通项公式。解法二(特征根法)：数列”： 3a”+2-5%+2“” = 0(n 0,” 已 N) , a
3、=a,a2 =b 的特征方程是：3x2-5x + 2 = 0o, 2V Xj = 1,心=-,/ 3a = A + B b=A+-B32a” = Av；11 + Bx；“ = A + B (_)心。乂 由 ax = a, a2 = b ,于是A = 3b 2a .2 i故 an=3b-2a + 3(a-bX-yl(3 = 3(a-Z?)32i例：已知数列”中，绚=1,色=2, %2 如+勺，求”。类型6递推公式为S”与心的关系式。(或S” =/(“)解法:这种类型-般利用二二寫与例：已知数列仏前11项和S=4-a-. (1)求a曲与的关系；(2)求通项公 式5 类型 7= pa + an+b
4、(pH 1、0, a HO)解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令a”+i + x(n +1) + y = p(a + xn + y),与已知递推式比较，解出兀,y,从而转化为an + xn + y是公 比为的等比数列。例：设数列a=4,“” =3%+2-1,(心2),求.【例】、已知数列仏满足“冲,“”=3”“+如(虫2),则通项公式高中数学：递推数列经典题型全面解析类型 1 an+l=an+f(n)解法：把原递推公式转化为s+i-“”=/()，利用累加法(逐差相加法)求解。例：已知数列仏满足“严丄，an+1=n+_l_,求2 ir +n类型 2 an+l =f(n)an解法：把
5、原递推公式转化为 = /(/),利用累乘法(逐商相乘法)求解。an例：已知数列”满足求牛。3 n + 3/? 1例：已知= 3,仏=an (n 1),求。3 + 2类型 3+1 = pa+q (其中 p, q 均为常数,(pg(p-l)HO)。例：已知数列仏中，! = 1 r a/r+1 = 2an + 3,求变式：递推式：af=pan+f(n).解法：只需构造数列b 消去/(町带来的差异.aH+l = Pan + Qn (其中 P，q 均为常数,(M(p-l)S-l)HO) ) O（“+1 = W” + w,其中 P，Q, r 均为常数）。例：已知数列”中绚=石，”+1+（f，求”。类型5递
6、推公式为a+2=pa+qalt （其中p, q均为常数）。解法一（待定系数迭加法）：数列“”： 3”2-5”+2“” =0（N）,q =a,a2 =b ,求数列仏的通项公式。解法二（特征根法）：数列”： 3an+2 -5n+I +2a = 0（w 0,ne N） t ax =aya2 =b 的特征方程是：3x2-5x + 2 = 0o2 2 x = 1, x2 = , an = Avf1 + Bx； = A + B （）n-1。又由 ax = a. a2 = b ,于是a = A + B（人=引 _ 92 a 故a =3b_2a + 3（a_b）（二）zb = A + -BB = 3（g ）“
7、337i例：已知数列”中，勺=1,勺=2, %+2=3%|+2勺，求“”。类型6递推公式为S”与5的关系式。（或S” =/（“）解法：这种类型_般利用aH=SlG）与也-Si（2）例：已知数列仏前n项和S”=4-丄.（1）求a沖与的关系；（2）求通项公2式仏类型 7 % = pan +an+b （“Hl、0, a 工0）解法：这种类型一般利用待定系数法构造等比数列，即令。”+ + x（n +1） + y = pan +xn + y）,与已知递推式比较，解出x, y,从而转化为a + xn + y是公 比为卩的等比数列。例：设数列a” ： a =4,n = 3a_ + 2n -l,（n 2）,求心【例】、已知数列满足“1=1,+_!（2）,则通项公式
