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1、经典)讲义：等比数列及其前 n 项和1等比数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个 数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示.2等比数列的通项公式设等比数列an的首项为a】，公比为q则它的通项a=af qn1. 3等比中项若G2=ab(abHO)，那么G叫做a与b的等比中项.4等比数列的常用性质(1)通项公式的推广：an=am-qn-m， (n，)若an为等比数列，且 k+l=m+n(k，1， m， nN )，则 aka=am：an.n+k In若an，bn(项数相同)是等比数列，贝V加(久工0), a，anbn，仍是等 比数列公比
2、不为一1的等比数列an的前n项和为Sn，则Sn，S2n-Sn，S3n-S2n仍成 等比数列，其公比为qn.5. 等比数列的前n项和公式等比数列an的公比为q(qHO)，其前n项和为Sn，当 q = 1 日寸，S”=na ；当 qH1 时，Sn .【注意】6. 利用错位相减法推导等比数列的前n 一项和一：S 5 .a4_ + a 1_qa1_q2 +_aqn1，- 同乘 q 得：qSn= a4q + a1q2 + a1q3 + + a , 两式相减得(1 - q)S = a, - aqn / S = (qH1).7丄由.an+1_5.q.an,qQ并丕能立.即断言an为等比数列，还要验证角一艺0
3、.72在运用等比数列的前一 n项和公式时，必须注意对一 q三1与一 q艺1分类讨论，防 止因忽略q二这二特殊情形导致解题失误二一.8.等比数列的判断方法有：（1）定义法：若三q（q为非零常数）或三q（q_为非零常数且於2且neN*）,则% 是等比数列（2）中项公式法：在数列.an中，,an0 且 a = an: 2十（疣理），则数列an是等比 数列（3）通项公式法:若数列通项公式可写成an= cqn（c ,均是不为0的常数eN*）,则an是等比数列二、知识梳理S = 0 ,Sa + aa + aS , S 同号,S = 281笔记：邁到类似下标成倍数关系的前n项和问题，一般可考虑用等比 数列中
4、依次k项和S ,S -S ,S -S ,成等比数列来解决，可简化计 算量在已知S ,S ,利用这一性质求S时，要考虑是否会出现增根的 问题.n 3n2n例4已知一个项数为偶数，首项为1的等比数列，其奇数项的和为85, 偶数项的和为170,求这个数列的公比及项数.思路:本题涉及到项数为偶数的等比数列,且奇数项和与偶数项和都 已知,由此利用等比数列的性质即可求出公比,进而求其通项.解：该数列是一项数为偶数的等比数列i方程求解，I若用性质应I：主泪曰木厶I V丿心7E 口 H|出现增根.|本题考查了|等比数列的 I性质.!I注意S = q! S q奇!这个性质是|在项数为偶I数这一前提 |下成立的.
5、|建议：巧用 i特例，熟记 I等差等比数i列奇偶项的一些性质.S 170q 二十=2，乂 S = S + S = 85 +170 = 255S 85n 奇 偶奇=故 n = 8.I阅题笔记：利用等比数列奇、偶项数和的性质简单明了，运算量较! H氐.3某些特殊数列的求和例5：已知数列a 的通项公式a = 2n + n，求该数列的前n项和nS；(2)已知数列a 的通项公式a = 2n + 3n，求该数列的前n项和S nnn解：(1) S = a + a + a + an 1 23n(2) S a + a + a + an 123nSnM 72n+l +2 2 笔记:分组求和法适用于某些特殊数列的求和,这些特殊数列的通项 是可写成几个等比数列或等差数列的和的形式.例6:已知数列a 的通项公式a n-2n，求该数列的前n项和S ； nnn思路写出数列的前n项和注意其与等比数列形式类似，考虑用推导 等比数列求和的方法来求其前n项和.解： S 2 + 2 - 22 + 3 - 23 + n - 2 n考查数列的 分组求和问 题.等差等比数 列各自分组 求和.不同公比的 等比数列按 公比各自分 组求和 建议：熟记 几种常见的 数列求和类 型及其对应 方法.笔记:错位相减法适用与求一个等
