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1、因式分解技巧这里介绍了10 种因式分解的技巧，若将这些技巧全部掌握，在解决因式分 解问题上必然有质的提升。首先提取公因式，然后考虑用公式。十字添拆要合适，待定主元要试试。几种方法反复试，最后必是连乘式。一、提取公因式法 多项式中所有的项都含有的因式称为它们的公因式。例 1：分解因式 12a2bc2x2y3-9ab2cx3y2+3abcx2y2 解：仔细观察，其中 3abcx2y2 是它们的公因式所以原式=3abcx2y2(4acy-3bx+1)技巧：先提取每一项的系数的公因数，再逐个将每个字母的最低次提取出 来。注意其中符号的变化以及不能遗漏其中的“1”。例 2：分解因式 3x2y(a+b)(
2、b+c)+3xy2(a+b)(b+c)若在求解过程中将(a+b)(b+c)展开，贝y在后面的分解过程中会有很大 的麻烦，应该观察到每一项都含有(a+b)(b+c)，将其看成一个整体，不做变化。解：含有公因式 3xy(a+b)(b+c)所以原式=3xy(a+b)(b+c)(x+y)技巧：在分解过程中，利用好整体思想。二、公式法 利用常见的公式进行因式分解。常用公式a2- b2=(a+b)(a-b)a2-2ab+b2=(a-b)2a2+2ab+b2=(a+b)2a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3+3a2b+3ab2+b3=(a+b)3a3-3a
3、2b+3ab2-b3=(a-b)3a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2补充公式当n为正奇数时有an+bn=(a+b)(an-i-an-2b+an-3b2- -abn-2+bn-i)当 n 为正整数时，有an-bn=(a-b)(an-l+an-2b+an-3b2+ +abn-2+bn-1)例 3：分解因式 16(m+x)2-9(n+y)2解：16(m+x)2=(4m+4x)29(n+y)2=(3n+3y)2原式=(4m+4x)2-(3n+3y)2=(4m+3n+4x+3y)(4m-3n+4x-3y) 技巧：应该先观察，若先进行展开，将会非常麻烦。 例 4：分解因式 -1-2
4、x-x2+y2解：原式=y2-(x2+2x+1)=y2-(x+1)2=(y+x+1)(y-x-1)例 5：分解因式 9x2-24xy+16y2解：原式=(3x)2-24xy+(4y)2=(3x-4y)2例 6：分解因式 a2+b2+c2+2ab-2bc-2ca解：原式=(a2+2ab+b2)-2(a+b)c+c2=(a+b)2-2(a+b)c+c2=(a+b-c)2例 7：分解因式 x3+1解：原式=X3+13=(X+1)(X2-X+1) 注意“1”的妙用。例 8：分解因式 x6-y6方法一、原式=(X2)3-(y2)3=(x2-y2)(x4+x2y2+y4)=(x-y)(x+y)(x2-xy
5、+y2)(x2+xy+y2)方法二、原式=(X3)2-(y3)2=(x3+y3)(x3-y3)=(x-y)(x+y)(x2-xy+y2)(x2+xy+y2)例 9：分解因式 x3+3x2+3x+1 方法一、利用完全立方公式有原式=(X+1)3方法二、原式=X3+1+3x(x+1) =(X+1)(X2-X+1)+3X(X+1) =(x+1)(x2+2x+1)=(x+1)3例 10：在实数范围内分解因式 x4+y4解：原式=X4+2x2y2+y4-2x2y2= (X2+y2)2-(-xy)2=(X2+ -xy+y2)(x2- -xy+y2)例 11：分解因式 x5-1 方法一、利用公式求解 方法二
6、、原式=X5-X4+X4-X3+X3-X2+X2-X+X-1=(x-1)x4+(x-1)x3+(x-1)x2+(x-1)x+x-1 =(X-1)(X4+X3+X2+X+1)三、分组分解法 对多项式的项进行适当的分组使之能够提取公因式或应用公 式。要求做到高瞻远瞩。例 12：分解因式 aX-by-bX+ay 解：原式=ax+ay-bx-by=a(X+y)-b(X+y) =(a-b)(X+y)例 13：分解因式 X3+X2-y3-y2 解：原式=X3-y3+X2-y2=(X-y)(X2+Xy+y2)+(X-y)(X+y) =(X-y)(X2+Xy+y2+X+y)注：若将 X3，X2 分成一组，将
7、y3，y2 分成一组，则无法进行分解.四、添项与拆项分解法 仔细观察多项式的特点，添加适当的项或将其中的项 进行适当的拆分，使解题思路变得清晰。注意在添项与拆项过程中进行的是恒 等变形。例 14 ：分解因式 a3-b3解：原式=a3-ab2+ab2-b3=a(a2-b2)+b2(a-b)=a(a-b)(a+b)+b2(a-b)=(a-b)(a2+ab+b2)例 15:分解因式 x3-2x+1解：原式=X3-X-X+1=x(x-1)(x+1)-(x-1)=(x-1)(x2+x-1)=x3-x2+x2-2x+1=x2(x-1)+(x-1)2=(x-1)(x2+x-1)例 16：分解因式 a4+a2
8、b2+b44解：原式=a4+2a2b2+b4-a2b2=(a2+b2)2-(ab)2=(a2+ab+b2)(a2-ab+b2)五、十字相乘法与长十字相乘法 类似x2+(a+b)x+ab的式子可以分解为(x+a)(x+b). 例 17：分解因式 x2+5x+6解：原式=x2+(2+3)x+6=(x+2)(x+3)技巧：将常数项拆成两项相乘，这两项之和为一次项的系数。 例 18：因式分解 6x2-7x+2解：将6X2拆成2x与3x,将分解为-1与-2,进行适当的组合有 原式=(2x-1)(3x-2)六、换元法 适用于次数较大或式子比较复杂的情况。例 19：因式分解 x6-28x3+27解：令 t=
9、x3 则原式=t-28t+27=(t-1)(t-27)=(x3-1)(x3-27)=(x-1)(x-3)(x2+x+1)(x2+3x+9)注意：在结果中不能出现题目中没有出现的字母。例 20 ：分解因式 (x2+3x+3)2+(x2+3x+1)2-2 解：令 t=x2+3x+2 则原式=(t-1)2+(t+1)2-2=2t2=2(x+3x+2)2 =2(x+1)2(x+2)2七、主元法 当多项式中含有多个元时，若在因式分解过程中感觉比较复杂， 可以选择其中一个元作为主元进行分解，往往有意想不到的效果。例 21：分解因式 y4+(x-1)y3+(x+1)y+x2-1分析：此多项式是以y降幕排列的
10、，整体比较复杂，继续观察，发 现可以按照x降幕排列。解：原式=X2+(y3+y)x+y4-y3+y-1 =x2+(y3+y)x+(y3+1)(y-1)=(x+y3+1)(x+y-1) 技巧：选取主元时，一般选择字母指数最低的作为主元。八、求根公式法 一般应用于形如ax2+bx+c (aMO)的多项式的因式分解。若 ax+bx+c=0 有两个根 x1,x2 则 ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)利用一元二次方程的求根公式可以求出方程的两个根。例 22：分解因式 3x2+6x+2解：令 3x2+6x+2=O 解得 x1 x2原式=(x+1) ( -x+ -1)九、待定系数法 先设定多项式
11、等于含有待定系数的因式的乘积，再利用多项 式的恒等式定理求得待定系数，从而完成多项式因式分解的方法称为待定系数 法。待定系数法在其它许多数学问题中有较大的作用。主要思路：1. 要根据多项式的特征，假设它能够分解出含有待定系数的某种可能的因式。2. 把假设的各因式展开并整理为与多项式类似的形式。3. 根据恒等式的性质列出方程组，解方程组求出待定系数。4. 使待定系数的值适合方程组中的每一个方程。5. 将求出的待定系数代入假设中，从而将多项式因式分解。例 23 ：分解因式 x2+3y2-2z2+4xy-xz+yz解：设原式=(x+y+az)(x+3y+bz)其中a、b为整数 方法一、采用系数比较法
12、。因为 x2+3y2-2z2+4xy-xz+yz三x2+3y2+abz2+4xy+(a+b)xz+(3a+b)yz有 ab=-2a+b=-1 解得 a=1b=-23a+b=1所以 原式=(x+y+z)(x+3y-2z) 方法二、采用数值代入法。1) 取 x=y=1,有 ab+4a+2b=-22) 取 x=z=l,y=T 有 ab_2a=_43) 解得 a=l,b=-2所以 原式=(x+y+z)(x+3y-2z)技巧：确定待定系数一般有两种方法：一是系数比较法，利用多项式恒等 定理，通过比较对应项系数，列出有关待定系数得方程组；二是数值代入 法，利用多项式恒等定理，通过代入几组字母的特殊值，列出
13、有关待定系 数得方程组。十、赋值试探法 将x取一个特殊值c代入多项式，若多项式得值为0,则x-c为多项式得一个因式。当然，我们选择代入得数字式有一定的规律的。对于多项式已刘+匕-严1+已加-2+乜严叫来说赋值常是c=q/p，其中p是a的因数，q是a得因数，正得或负的。 例24：分解因式 f(x)=2x3-x2-5x-2解：显然x=-1时，f(-l)=0,所以x+1是它的一个因式。F(x)=2x3+2x2-3x2-3x-2x-2 =2x2(x+1)-3x(x+1)-2(x+1) =(x+1)(2x2-3x-2) =(x+1)(2x+1)(x-2)技巧：若所有组合均不能解决，则另想它法。、若系数之和为0,则其含有因式x-1、若奇数次项的系数之和与偶数次项的系数之和相等，则含有因式X+1.
