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1、几何证明的好方法截长补短ABFDCE（ 1）正方形 ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 BC上，EAF=45o 。求证： EF=DE+BF（ 1）变形 aABEDCF正方形 ABCD中，点 E 在 CD延长线上，点 F 在 BC延长线上，EAF=45o 。请问现在 EF、 DE、BF又有什么数量关系？（ 1）变形 bFABDCE正方形 ABCD中，点 E 在 DC延长线上，点 F 在 CB延长线上，EAF=45o 。请问现在 EF、 DE、BF又有什么数量关系？（ 1）变形 cAFEBj CD正三角形 ABC中， E 在 AB上， F 在 AC上o。DB=DC，o。请EDF=45BDC
2、=120问现在 EF、 BE、CF又有什么数量关系？（ 1）变形 dABFDCE正方形 ABCD中，点 E 在 CD上，点 F 在 BC上，o，o。AD= 3EAD=15FAB=30求 AEF的面积（ 1）解：（简单思路）ABFGDCE延长 CD到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。由四边形 ABCD是正方形得ADG= ABF=90oAD=AB又 DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四边形 ABCD是正方形得o= DAF+ FABDAB=90= DAF+ GAD= GAF 所以 GAE= GAF- EAF=90o -45 o =45oGAE= FAE=45o又 A
3、G=AF AE=AE所以 EAG EAF（SAS）EF=GE=GD+DE=BF+DE变形 a 解：（简单思路）ABGEDCFEF= BF-DE在 BC上截取 BG，使得 BG=DF，连接 AG。由四边形 ABCD是正方形得oADE= ABG=90AD=AB又 DE=BG所以ADEABG（SAS）EAD= GABAE=AG由四边形 ABCD是正方形得o= DAG+ GABDAB=90=DAG+ EAD= GAE所以GAF= GAE-EAFoooGAF= EAF=45o又 AG=AE AF=AF所以 EAF GAF（SAS） EF=GF=BF-BG=BF-DE变形 b 解：（简单思路）FABDCE
4、GEF=DE-BF在 DC上截取 DG，使得 DG=BF，连接 AG。由四边形 ABCD是正方形得ADG= ABF=90oAD=AB又 DG=BF所以ADGABF（SAS）GAD= FABAG=AF由四边形 ABCD是正方形得o= DAG+ GABDAB=90= BAF+ GAB= GAF 所以 GAE= GAF- EAF=90o -45 o =45oGAE= FAE=45o又 AG=AF AE=AE所以 EAG EAF（SAS） EF=EG=ED-GD=DE-BF变形 c 解：（简单思路）AFEBCGDEF=BE+FC延长 AC到点 G，使得 CG=BE，连接 DG。由 ABC是正三角形得o
5、ABC= ACB=60o又 DB=DC，BDC=120o所以DBC= DCB=30oooDBE= ABC+ DBC=60 +30 =90oooACD= ACB+ DCB=60 +30 =90所以ooGCD=180 -ACD=90oDBE= DCG=90又 DB=DC， BE=CG所以DBEDCG（SAS）EDB= GDCDE=DG又oDBC=120 = EDB+ EDC= GDC+ EDC= EDG 所以 GDF= EDG- EDF=120o -60 o =60ooGDF= EDF=60又 DG=DE DF=DF所以GDFEDF（SAS）EF=GF=CG+FC=BE+FC变形 d 解：（简单思
6、路）延长 CD到点 G，使得 DG=BF，连接 AG。过 E 作 EH AG.前面如（ 1）所证，ADGABF，EAGEAFGAD= FAB=30o ，SEAG=S EAF在 RtADG中，o，AD= 3GAD=30oAGD=60，AG=2设 EH=x在 RtEGH中和 RtEHA中ooAGD=60，HAE=45HG=3 x， AH=x33AG=2=HG+AH=x+x,EH=x=3- 33SEAF=S EAG=EHAG 2=3- 3.（第 5 页题目答案见第6 页）ABOEDC（ 2）正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD交于 O，点 E 在 BD上， AE平分DAC。求证： AC/2=AD
7、-EO（ 2）加强版NABFEDMC正方形 ABCD中，M在 CD上，N在 DA延长线上，CM=AN，点 E 在 BD上，NE平分 DNM。请问 MN、AD、 EF有什么数量关系？（ 2）解：（简单思路）ABG OEDC过E作EG AD于G因为四边形 ABCD是正方形oADC=90 ， BD平分ADC，AC BD所以ADB= ADC/2=45o因为 AE平分DAC，EO AC， EG AD所以EAO= EAG，oDGE= AOE= AGE=90 又 AE=AE，所以AEOAEG（AAS）所以 AG=AO，EO=EG又ooADB=45， DGE=90所以DGE为等腰直角三角形DG=EG=EOAD
8、-DG=AD-EO=AG=AO=AC/2（ 2）加强版解：（简单思路）NQABPGFEDMCMN/2=AD-EF过 E 作 EG AD于 G，作 EQ AB于 Q，过B做BP MN于P按照（ 2）的解法，可求证，GNEFNE（AAS）DGE为等腰直角三角形AG=AD-DG=AD-EF，因为四边形 ABCD为正方形，oABC= GAQ= BCM=90BD平分 ABC，BC=BAABD= ABC/2=45o ，又EQB=90oEQB为等腰 Rt 三角形，BEQ=45oo因为GAQ= EGA= EQA=90所以四边形 AGEQ为矩形，EQ=AG=AD-EF，EQ/AGQEN= ENG又ENG= EN
9、F，所以QEN= ENFo由 BC=BA，BCM= BAN=90 ，CM=AN，所以BCMBAN（SAS）BM=BN，CBM= ABNo= ABM+ CBMABC=90= ABM+ ABN= MBN，又 BM=BN所以 MBN为等腰 Rt 三角形，又 BP 斜边 MN于 P，所以 NPB为等腰 Rt 三角形。oBP=MN/2，PNB=45 。BNE= ENF+ PNBBEN= QEN+ QEBo又QEN= ENF，PNB= QEB=45所以BNE= BENBN=BE，o又PNB= QEB=45 =NBP= EBQ所以BEQBNP（SAS）EQ=BP因为 EQ=AG=AD-EF，BP=MN/2所
10、以 AD-EF=MN/2。综合题体中的截长补短1、如图，在 O 中， C 是 AB 的中点，直线 CD AB 于点 E， AB BE， PB、 PA 组成的 O 的一条折弦， C 是劣弧 AB 的中点，直线 CD PA 于点 E，则 AE PE+PB，请证明你的结论。分析：本题要证明 AE PE+PB，可以将 AE 分为两段，使其中一段长度等于PE，然后另一段长度关于 PB。反之亦。证明 AHC BPC。然后再证明 PB PE，那么 AE PE+PB。证明：在 AE 上截取 AH PB，连接 AC、 CH 、 BC、CP。 C 是 AB的中点 ACBC ACBC CPCP A B 在 CAH 与 CBP 中CA= A=AH=BP CAH CBP (SAS) CH CP CEHP PEEH AE PE+PB2、 如图， O 为 ABC 的外接圆，弦 CP 平分 ABC 的外角 BCQ， ACB 120， 求 BCAC 的值。PC分析：要求 BCAC 的值，可用截长的方法来做，即可在AB
