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1、2018届高三数学成功在我专题十 概率统计误区一：P(AB)与p( A)混淆失误(理)B知识辨析1. 相互独立事件：事件A (或B )是否发生对事件B (或A )发生的概率没有影响，则A、B叫做相互独立 事件，它们同时发生的事件为AB 用概率的乘法公式P(AB)二P(A)P(B)计算.2. 条件概率：在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，记为P(B / A),用概率的乘法公式3条件概P(B/ A)与乘积概率P(AB)也是容易混淆的一对概念,条件概率是已知某事件发生条件下，另一事 件发生的概率，而乘积概率中所涉及的事件都没有“已经发生”的假定两者的关系为P(AB) = P(A)P(B/ A)，
2、事 件A、B独立是指，事件A是否发生与事件B没有关系，独立性是相互的，两件事互不影响.而P(A/B)是指在 事件B发生的情况下事件A发生的概率，如果等于P(A)，则表示事件A、B独立条件概率P(B / A)中A、B 的地位不同,且已知A发生作为条件，在概率P(AB)中A、B同时发生，地位相同,没有前提条件，在应用文题中必须区别是求P( B / A)，还是求P (AB).4. 条件概率的求法P( AB)(1) 利用定义，分别求出 P(A),P(AB),得 P(BL4)= P(A)；(2) 借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A),再在事件A发生的条件下求事件B包含的基 本事件数
3、n(AB),即 P(BIA)= .n( A)(3) 为了求一些复杂事件的条件概率 ，往往可以先把它分解为两个 (或若干个)互斥事件的和 ，利用公式 P(B U CIA)=P(BIA)+P(CIA)进行计算，其中 B,C 互斥.5. 相互独立事件同时发生的概率的求法(1) 利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；(2) 正面计算较繁或难于入手时，可以从其对立事件入手进行计算.二、典例精析【例1】一盒中放有大小相同的10个小球，其中8个黑球、 2个红球，现甲、乙二人先后各自从盒子中无放回 地任意抽取2个小球，已知甲取到了 2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率是.【分析】由已知甲取到了 2个黑球的前提
4、下，乙也取到2个黑球，这是一个条件概率问题,可由条件概率求得已知甲取到了 2个黑球，则乙也取到2个黑球的概率.P(AB ) C 2 - C 215【解析】记事件“甲取到2个黑球”为A，“乙取到2个黑球”为B,则有P(B/ A)= 说石=cc2 = 28,即8 815事件“甲取到2个黑球，乙也取到2个黑球”的概率是28【点评】本题易错误的在于P(AB)与P(B/ A)的含义没有弄清，P(AB)表示在样本空间S 中, A与B同时发生的概率；而P(B/ A)表示在缩减的样本空间SA中，作为条件的A已经发生的条件下事件B发生的概率. 【小试牛刀】高二某班共有60名学生，其中女生有20名，三好学生占全班
5、人数的而且三好学生中女生占一 半现在从该班任选一名同学参加某一座谈会则在已知没有选上女生的条件下，选上的是三好学生的概率为3【例2】某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为5 ,且每次射击的结果互不影响，已知射手射击 了 5次，求：(1)其中只在第一、三、五次击中目标的概率；(2)其中恰有3次击中目标的概率.【分析】(1)因为第一、三、五次击中目标,可以同时发生，是独立事件概率，由题意可知，该射手在一、三、五次击中目标，在二、四次未击中目标,而每次射击的结果互不影响，因此由概率乘法公式可知所求概率为33 33 3108p = 5 -(15)- 5 (1 5) 5 = 花 ；(2)该射手
6、射击了 5次，其中恰有3次击中目标，符合n次独立重复试验33216恰发生m次概率模型，根据二项分布相关内容，可知故所求概率为P = C3 ( )3(1-匚)2 =.5 55625【解析】(1)该射手射击了 次:其中只在第一、三、五次击中目标:是在确定的情况下击中目标3次:也即在第二 四次没有击中目标:所以只有一种情况取各次射击的结果互不影响：故所求苴概率为尸= 益：(?)该射手射击了 况其中恰有务灵击中目标:符合独立重冥试验概率模型，故所求其概率为尸=点二弟.【点评】本题是对独立事件的概念,n次独立重复实验的考查,解题时应综合运用相应的知识进行转化,分清每 一种情况的概率,求其积概率,易错点，
7、忽略没击中情况的概率.【小试牛刀】【河南省新乡市2017 届高三上学期第一次调研测试】甲、乙两位数学老师组队参加某电视台闯关节目,共 3 关,甲作为嘉宾参与答题,若甲回答错误,乙作为亲友团在整个通关过程中至多只能为甲提供一次帮助机会,若乙回答正确,则甲继续闯关,若某一关通不过,则收获前面所有累积奖金约定每关通过得到奖3 1金2000元，设甲每关通过的概率为G ,乙每关通过的概率为，且各关是否通过及甲、乙回答正确与否均相互4 2独立（1）求甲、乙获得2000元奖金的概率；（2）设X表示甲、乙两人获得的奖金数，求随机变量X的分布列和数学期望E（X）.三、迁移运用迁移运用】1. 袋中有3红5黑 8个
8、大小形状相同的小球，从中依次摸出两个小球，则在第一次摸得红球的条件下，第二次仍是红球的概率为（）A|B.2C.|D.12. 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某 天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（）A. 0.8 B. 0.75 C. 0.6 D. 0.453. 已知箱中共有6个球，其中红球、黄球、蓝球各2个，每次从该箱中取1个球（有放回，每球取到的机会均等），共取三次设事件A： “第一次取到的球和第二次取到的球颜色相同”，事件B： “三次取到的球颜色都相同”，则P(BIA) = ()C.2D.1A.1- 3
9、B4. 有五瓶墨水，其中红色一瓶，蓝色、黑色各两瓶，某同学从中随机任取出两瓶，若取出的两瓶中有一瓶是蓝色，求另一瓶也是蓝色的概率（ ）1B. 71C. 4D.5. 高三毕业时，甲、乙、丙、丁四位同学站成一排照相留念，已知甲乙相邻，则甲丙相邻的概率为（）A.|D.6. 甲、乙、丙3位学生用互联网学习数学,每天上课后独立完成6道自我检测题，甲答题及格的概率为/J，乙答题及格的概率为10，丙答题及格的概率为1J，3人各答一次，则3人中只有1人答题及格的概率为A)3204147(D)以上全不对7. 有一批种子的发芽率为 0.9,出芽后的幼苗成活率为 0.8,在这批种子中,随机抽取一粒,则这粒种子能成长
10、为幼苗的概率为8. 甲袋中有 2 个白球和 4 个红球,乙袋中有 1 个白球和 2 个红球.现在随机地从甲袋中取出一球放入乙袋,然后从乙袋中随机地取出一球,则取出的球是白球的概率是.9. 抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为“蓝色骰子的点数为3或6”,事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”.当已知蓝色骰子的点数为3或6时,则两颗骰子的点数之和大于8的概率为10. 盒子装中有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字 1,2,3,4,5.现每次从中任意抽取一张,取出后不再 放回.(1) 若抽取三次,求前两张卡片所标数字之和为偶数的条件下,第三张为奇数的概率;(2) 若不断抽取，直至取出标有偶数的卡片为止
11、,设抽取次数为乙求随机变量$的分布列及数学期望.11. 某班从6名班干部(其中男生4人,女生2人)中选3人参加学校学生会的干部竞选.(1)设所选3人中女生人数为2，求2的分布列(2)在男生甲被选中的情况下,求女生乙也被选中的概率.12. 盒子中装有形状、大小完全相同的五张卡片,分别标有数字1,2,3,4,5.现从中任意抽出三张.(1) 求三张卡片所标数字之和能被3整除的概率;(2) 求三张卡片所标数字之积为偶数的条件下,三张卡片数字之和为奇数的概率.13. ( 2016 山东理 19)甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动 中,如果两人都猜对,则“星队”得 3 分；如果只有一个人猜对,则“星队”得 1 分；如果两人都没猜对,则“星队”32得o分已知甲每轮猜对的概率是才,乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响各轮结果亦互不影响.假设“星队”参加两轮活动,求：(1) “星队”至少猜对 3 个成语的概率；(2) “星队”两轮得分之和为X的分布列和数学期望EX
