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1、第十五章平移与旋转:1 在平面内, 叫平移。平移的基本要素为 、 。平移不改变图形的 和 ,平移前后的两个图形 ,即对应线段 ,对应点所连的线段 ,平移前后的两条对应线段的四个端点所围成的四边形是 ;对应角 ,对应角的两边分别 且 。平移作图的一般步骤为 。2 在平面内, 叫旋转。旋转的基本要素为 、 、 。旋转不改变图形的 和 ,旋转前后的两个图形 ,即图形上任意一点绕旋转中心以相同方向转动的角度 , 任意一对对应点与旋转中心的连线所成的角都是 ,对应点到旋转中心的距离 ,对应线段 ,对应角 。一个图形绕某一点旋转一定角度后能与自身 ,则这样的图形是旋转对称图形。旋转作图的一般步骤为 。3.
2、 一个图形绕中心点旋转 后能 ,则这样的图形叫做中心对称图形,这个中心点叫 。一个图形绕某一点旋转 ,若它能 ,则这两个图形成中心对称,这个点叫 ,这两个图形中的对应点叫关于对称中心的 。关于中心对称的两个图形形状和大小 ,对应点的连线都经过 ,且被对称中心 ,对应线段 且 。 4.能够完全重合的两个图形叫做 。若两个多边形是全等图形,则称它们是 。全等多边形的对应边、对应角分别 ,三角形是特殊的多边形,故全等三角形的对应边、对应角分别 。:1对应点的连线与对应线段混淆 例:如图,将ABC沿着射线MN的方向平移一定的距离后得到DEF,请你找出图中的对应线段并指明它们的关系。错解:对应线段有(1
3、)AD,BE与CF,它们有如下关系:AD=BE=CF,且ADBECF;(2)AC与DF,AB与DE,BC与EF,它们有如下关系:AC=DF,且ACDF; AB=DE,且ABDE; BC=EF,且BCEF. 剖析:产生错解的原因是将对应点的连线误认为是对应线段。 正解:只有(2)中的线段才是要找的对应线段。2 错误确定平移的方向或平移的距离例:如图,点D、E、F分别在等边三角形ABC的边AB、BC、AC上,且DE、EF、DF分ABC 为四个形状完全相同的等边三角形。若把ECF看作是由DFA平移得到的,指出平移的方向和距离。 错解:平移的方向是DF的方向,平移距离是DF的长。 剖析:错解中错误地确
4、定对应点,从而导致确定平移的方向和距离时出现错误。正解:平移方向是点A到点F的方向(或点F到点C得方向,或点D到点E的方向),平移距离是线段AF的长(或FC的长,或DE的长) 3.错误理解中心对称的概念 例:下列图形:线段、等边三角形、平行四边形、等腰梯形、正方形、圆。其中,中心对称图形有 个。 错解:3个、5个或6个。 剖析:对中心对称图形的概念理解不够,忽略了“旋转180后重合”的条件,错误地认为等边三角形和等腰梯形是中心对称图形。正解:旋转180后与原图形重合的有线段、平行四边形、正方形、圆,共4个。:1、 平移的概念及特征例:由基本图形1通过平移得到的图案是( )评析:根据平移的概念及
5、特征可知,图形的平移的方向固定,平移前后对应点的连线平行且相等,观察这四个图案,显然只有B符合。2、 旋转的概念及特征例:如图,五角星的顶点是一个正五边形的五个顶点。这个五角星可以由一个基本图形(图中的阴影部分)绕中心点O至少经过 次旋转而得到,每一次旋转 度。评析:根据图形的特点,这个图形由五个全等的基本图形构成,将阴影部分绕中心点O至少旋转4次可得到五角星,每一次旋转角为3605=72.3、 中心对称、中心对称图形的概念及特征例:如图,下列图形中,既是轴对称又是中心对称图形的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个评析:本题主要考查轴对称图形和中心对称图形的概念,观察上面四个图形的特
6、点,除了(2)以外,其余图形均同时符合轴对称图形及中心对称图形概念。4、 中心对称图形的设计例:如图,方格纸中的每一个小正方形的边长均为1.观察图(1)、图(2)中所画的“L”型图形,然后各补画一个小正方形,使图(1)中所成的图形是轴对称图形,图(2)中所成的图形是中心对称图形。分析:抓住轴对称图形和中心对称图形的概念补画小正方形,然后进行操作并加以检验。解:依题意,如图(1)、(2)是轴对称图形,图(3)是中心对称图形。5、 平移、旋转作图例:如图1所示,在正方形网格中,ABC为格点三角形(顶点都是格点),将其绕点A按逆时针方向旋转90得AB1C1。请在正方形网格图中,作出AB1C1(不要求
7、写作法)。评析:找出关键点B、C绕点A逆时针旋转90后的对应点B1、C1,然后连接,得到旋转后的AB1C1。解:依题意,可作出如图2所示的图形。:如图,将矩形ABCD沿KE、FL折叠,使得点B、点C刚好在AD边上重合于点I,且EIF=90。若EI=3,FI=4,求(1)矩形ABCD的面积;(2)AK的长。分析:(1)要求矩形面积,先求出长和宽。利用好“折叠前后对应边相等、对应角相等”,根据直角三角形有关知识,可求出EF及其对应的高,进而得所求;(2)求AK,即求KG。因为GI=HI,运用方程思想,结合勾股定理,可求。解:(1) EIF=90,EI=3,FI=4 在RtEFI中,EF=矩形ABC
8、D沿KE、F折叠,点B、点C在AD边上重合于点I BE=EI=3,CF=IF=4 BC=BE+EF+FC=3+4+5=12 设RtEFI中斜边EF对应的高为h,则由=EIFI=EFh ,得h =2.4矩形ABCD中,ADBC AB=h =2.4矩形ABCD的面积为(2)由折叠可得G=B=90,H=C=90;GK=AK,HL=DL;GI=AB=CD=HI;BEK=IEK,CFL=IFL ADBC BEK=IKE,CFL=ILFIEK=IKE,IFL=ILF KI=EI=3,LI=FI=4设AK=,即GK=,则DL=AD-KI-LI-AK=12-3-4-=5-,即HL=在RtKGI中,;在RtLH
9、I中,=,即解得=1.8,即AK的长为1.8。:1.一列长38m的火车在笔直的铁轨上做匀速直线运动,火车在2 min内走了1500m,那么坐在车尾的乘客的速度是 。2. 如图,ABC绕点A按逆时针旋转了50后到了ADE的位置,若B=33,E=56,则DAC= 。3. 在同一个平面内,两条相交的直线是中心对称图形,其对称中心是 。4.如果两个三角形全等,则下列说法中,错误的是( )A.它们的最小角相等; B.它们是直角三角形;C.它们的对应外角相等; D.它们的最长边相等。5.如图,ABC是直角三角形,BC是斜边,将ABP绕点A逆时针旋转后,能与ACP重合,如果AP=5,则PP的长是 。6.写出
10、两个多边形,它们都是旋转对称图形,都有一个旋转角为72,并且分别满足下列条件:(1)是轴对称图形,但不是中心对称图形; (2)既是轴对称图形,又是中心对称图形。 7.如图,线段AB与CD相交于点O,且AB=CD,AOC=60,CE由AB平移得到,则AC+BD与AB的大小关系是 。 8.任意一个正整数旋转180后可以发现一些有趣的现象:如818旋转180后仍是818,169旋转180后变成691,而35旋转180后就不是什么数了。在所有的五位数中,旋转180后还是原来的五位数有许多个,请写出其中的6个 。 9.(1)已知如图,ABC和直线m 、n ,且m n.依次作出A1B1C1和A2B2C2,
11、使A1B1C1和ABC关于直线m成轴对称,A2B2C2和A1B1C1关于直线n成轴对称.(2)观察ABC和A2B2C2的位置,你发现什么规律?(3)你还能找出所学的图形变换之间的相互转化规律吗?10.如图,ABD和BCD的公共边为BD,ABDC,且AB=DC=6,BDAB,AD=10。(1)能通过平移将四边形ABCD变成矩形吗?(2)四边形ABCD的面积是多少?11.如图所示,在正方形ABCD内有一点P,且已知PA:PB:PC=1:2:3,试利用旋转的知识求APB的大小。12.如图,在ABC中,BAC=120,以BC为边向形外作等边三角形BCD,把ABD绕着D点按顺时针方向旋转60到ECD的位置。若AB=3,AC=2,求BAD的度数和线段AD的长。【提示:先说明AC与CE共线,再证明ABE是等边三角形】