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1、【高考真题】2024年普通高等学校招生全国统一考试(全国甲卷)理科数学一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1设z5+i，则i（z+z）（）A10iB2iC10D22集合A1，2，3，4，5，9，Bx|xA，则A（AB）（）A1，4，9B3，4，9C1，2，3D2，3，53若实数x，y满足约束条件4x3y30x2y202x+6y90则zx5y的最小值为（）A5B12C2D724记Sn为等差数列an的前n项和若S5S10，a51，则a1（）A2B73C1D25已知双曲线C：y2a2x2b2=1(a0,b0)的左、右两个焦点分别为F1（0
2、，-4），F2（0，4），点P（6，4）在该双曲线上，则该双曲线的离心率为（）A4B3C2D26设函数f（x）ex+2sinx1+x2，则曲线yf（x）在点（0，1）处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为（）A16B13C12D237函数f（x）x2+（exex）sinx的区间2.8，2.8的图像大致为（）ABCD8已知coscossin=3，则tan(+4)=（）A23+1B231C32D139已知向量a（x+1，x），b（x，2），则（）A“ab”的必要条件是“x3”B“ab”的必要条件是“x3”C“ab”的充分条件是“x0”D“ab”的充分条件是“x1+3”10已知、是两个平面，m、n是两
3、条直线，m下列四个命题：若mn，则n或n若mn，则n，n若n，且n，则mn若n与和所成的角相等，则mn其中，所有真命题的编号是（）ABCD11在ABC中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，若B=3，b2=94ac，则sinA+sinC（）A32B2C72D3212已知a，b，c成等差数列，直线ax+by+c0与圆C：x2+（y+2）25交于A，B两点，则|AB|的最小值为（）A2B3C4D6二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13二项式(13+x)10的展开式中，各项系数的最大值是 14已知甲、乙两个圆台上下底面的半径均为r2和r1，母线长分别为2（r1r2）和3（r1r2），则
4、两个圆台的体积之比V甲V乙 15已知a1，1log8a1loga4=52，则a 16有6个相同的球，分别标有数字1、2、3、4、5、6，从中不放回地随机抽取3次，每次取1个球记m表示前两个球号码的平均数，记n表示前三个球号码的平均数，则m与n差的绝对值不超过12的概率是 三、解答题：共70分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤第17题第21题为必考题，每个考题考生必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共60分17某工厂进行生产线智能化升级改造升级改造后，从该工厂甲、乙两个车间的产品中随机抽取150件进行检验，数据如下：优级品合格品不合格品总计甲车间2624050乙车间
5、70282100总计96522150（1）填写如下列联表：优级品非优级品甲车间乙车间能否有95%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？能否有99%的把握认为甲、乙两车间产品的优级品率存在差异？（2）已知升级改造前该工厂产品的优级品率p0.5设p为升级改造后抽取的n件产品的优级品率如果pp+1.65p(1p)n，则认为该工厂产品的优级品率提高了根据抽取的150件产品的数据，能否认为生产线智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了？（15012.247）附：K2=n(adbc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)，P（K2k）0.0500.0100.001k3.8416.63510
6、.82818已知数列an的前n项和为Sn，且4Sn3an+4（1）求an的通项公式；（2）设bn=(1)n1nan，求数列bn的前n项和为Tn19如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BCAD，EFAD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED=10，FB=23，M为AD的中点.（1）证明：EM平面BCF；（2）求二面角AEMB的正弦值20已知函数f（x）（1ax）ln（1+x）x（1）当a2时，求f（x）的极值；（2）当x0时，f（x）0，求a的取值范围21已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的右焦点为F，点M（1，32）在椭圆C上
7、，且MFx轴（1）求C的方程；（2）过点P（4，0）的直线与椭圆C交于A，B两点，N为FP的中点，直线NB与MF交于Q，证明：AQy轴四、选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答，并用2B铅笔将所选题号涂黑，多涂、错涂、漏涂均不给分，如果多做，则按所做的第一题计分第22题选修4-4：坐标系与参数方程；第23题选修4-5：不等式选讲22在平面直角坐标系xOy中，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为cos+1（1）写出C的直角坐标方程；（2）直线l：x=ty=t+a（t为参数），若C与l交于A、B两点，|AB|2，求a的值23实数a，b满足a+b3（
8、1）证明：2a2+2b2a+b；（2）证明：|a2b2|+|b2a2|6答案解析部分1【答案】A2【答案】D3【答案】D4【答案】B5【答案】C6【答案】A7【答案】B8【答案】B9【答案】C10【答案】A11【答案】C12【答案】C13【答案】514【答案】6415【答案】6416【答案】71517【答案】（1）解：根据题意可得列联表如下所示：优级品非优级品总数甲车间262450乙车间7030100总计9654150将上面的数值代入公式计算得：K2=150(26302470)2501009654=7516=4.6875，又因为3.8414.6875p+1.65p(1p)n，所以可以认为生产线
9、智能化升级改造后，该工厂产品的优级品率提高了.18【答案】（1）解：当n=1时，4S1=4a1=3a1+4，解得a1=4当n2时，4Sn1=3an1+4，所以4Sn4Sn1=4an=3an3an1即an=3an1，而a1=40，故an0，故anan1=3，数列an是以4为首项，3为公比的等比数列，所以an=4(3)n1.（2）解：bn=(1)n1n4(3)n1=4n3n1，所以Tn=b1+b2+b3+bn=430+831+1232+4n3n1故3Tn=431+832+1233+4n3n所以2Tn=4+431+432+43n14n3n=4+43(13n1)134n3n=4+23(3n11)4n3
10、n=(24n)3n2，Tn=(2n1)3n+1.19【答案】（1）证明：根据题意，因为BC/AD,EF=2,AD=4,M为AD的中点，所以BC/MD,BC=MD，四边形BCDM为平行四边形，所以BM/CD，又因为BM平面CDE，CD平面CDE，所以BM/平面CDE；（2）过B作BOAD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为等腰梯形，BC/AD,AD=4,AB=BC=2，所以CD=2，由（1）可知BCDM为平行四边形，则BM=CD=2，又AM=2，所以ABM为等边三角形，O为AM中点，根据直角三角形OBA，所以OB=3，又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD,EF/MD
11、，四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF，所以AFM为等腰三角形，ABM与AFM底边上中点O重合，OFAM，OF=AF2AO2=3，利用勾股定理得OB2+OF2=BF2，所以OBOF，所以OB,OD,OF两两垂直，所以以OB方向为x轴，OD方向为y轴，OF方向为z轴，如图建立空间直角坐标系，F(0,0,3)，B(3,0,0),M(0,1,0),E(0,2,3)，BM=(3,1,0),BF=(3,0,3)，BE=(3,2,3)，设平面BFM的法向量为m=(x1,y1,z1)，平面EMB的法向量为n=(x2,y2,z2)，则mBM=0mBF=0，即3x1+y1=03x1+3z1=0，则m=(
12、3,3,1)，又nBM=0nBE=0，即3x2+y2=03x2+2y2+3z2=0，则n=(3,3,1)，所以cosm,n=mn|m|n|=111313=1113，则sinm,n=4313，故二面角FBME的正弦值为4313.20【答案】（1）解：当a=2时，f(x)的定义域为(1,+)，所以f(x)=(1+2x)ln(1+x)x，故f(x)=2ln(1+x)+1+2x1+x1=2ln(1+x)11+x+1，因为y=2ln(1+x),y=11+x+1在(1,+)上为增函数，根据单调性的性质，所以f(x)在(1,+)上为增函数，又因为f(0)=0，故当1x0时，f(x)0时，f(x)0，故f(x)在x=0处取极小值且极小值为f(0)=0，无极大值.（2）解：因为f(x)=(1+2x)ln(1+x)x，所以f(x)=aln(1+x)+1ax1+x1=aln(1+x)(a+1)x1+x,x0，设s(x)=aln(1+x)(a+1)x1+x,x0，则s(x)=ax+1(a+1)(1+x)2=a(x+1)+a+1(1+x)2=ax+2a+1(1+x)2，当a12时，
