20相交线 平行线 垂线

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1、相交线 平行线 垂线（一）一、内容： 对顶角的定义，邻补角的定义，对顶角的性质； 垂线的概念，垂线的性质，点到直线的距离； 同位角、内错角、同旁内角的概念 二、技能要求： 1、会过一个已知点画已知直线的垂线。 2、会过已知直线外一点，画已知直线的平行线。 3、会度量点到直线的距离。 4、会识别同位角、内错角、同旁内角。 5、理解对顶角，邻补角概念及性质，并会利用其进行推理与计算。 三、重要的数学思想： 1、数形结合的思想：把计算、推理与图形结合起来，以形辅算，以算辅形的思想。 2、方程的思想：利用方程（组）求解几何未知量的思想。 四、主要数学能力： 1、空间想象能力：从培养自己观察几何图形的位

2、置关系的能力入手，逐步提高自己认图能力和抽象、概括几何概念的能力，从而培养自己的空间想象能力。 2、运算能力：通过几何计算，在熟练技能的基础上，培养运算能力。 3、逻辑推理能力：在初步掌握推理技能的基础上，逐步培养自己灵活运用各种推理形式的能力。 4、思维能力：在本章的学习中，要从几何语言能力的培养入手，在文字语言，符号语言，图形语言的相互转化训练中，逐步规范自己的演绎思维（因果思维），归纳思维，类比思维等模式，为发展自己的思维能力打下好的基础。 五、知识点分析： 1、关于对顶角的概念： （1） 对顶角概念的本质：两条相交直线形成的四个角中，有公共顶点，没有公共边，这样的两个角叫对顶角。 如图

3、：直线AB、CD相交于O（已知） 1和2是对顶角，3和4是对顶角（对顶角定义）， 用对顶角概念的本质来判断某两个角是否是对顶角。 （2）对顶角的性质：对顶角相等。这就是说：如果这两个角是对顶角，那么这两个角就相等，这个性质反过来不成立，相等的两个角不一定是对顶角。 AOC和BOD是对顶角（已知）， AOD和BOC是对顶角（已知）， AOC=BOD（对顶角相等） AOD=BOC（对顶角相等） 注意： 既然两条直线相交可有对顶角，就可以直接说两角相等。 直线AB和直线CD相交于O（如图）， AOC=DOB（对顶角相等）， AOD=BOC（对顶角相等）， 注意：两条直线相交组成两对对顶角。 例1、判

4、断下列说法是否正确，并举例说明： （1）有公共顶点的两个角是对顶角。 （2）有公共顶点且一边互为反向延长线的两个角是对顶角。 （3）有一边互为反向延长线，且相等的两个角是对顶角。 （4）相等的两个角是对顶角。 （5）互为对顶角的两个角的余角相等。 （6）顶点相对的角是对顶角。 （7）有公共顶点且相等的两个角是对顶角。 （8）两条直线相交，有公共顶点的两个角是对顶角。 （9）两条直线相交，有公共顶点，没有公共边的两个角是对顶角。 解：（1）错，举例如图（1） 1，2不是对顶角。 （2）错，举例如图（2） 1，2不是对顶角。 （3）错，举例如图（3） 1，2不是对顶角。 （4）错，举例如图（4）

5、图中1=2，但都不是对顶角。 对顶角是两个角处于一种特殊的位置关系，相等的角是两个角的度量关系，这两个是不同范畴的概念，对顶角的大小相等，但相等的角不一定是对顶角。 （5）错。举例如图（5），AOD=BOC对顶角必相等，但并没有说对顶角一定是锐角，它们也可能是钝角，如图中AOD和BOC。钝角没有余角。所以对顶角不一定有余角。 （6）错，举例如图（6），1和2不是 对顶角。 （7）错，举例如图（7），1和2不是对顶角。 （8）错，举例如图（8），1和2不是对顶角。 （9）对。 例2、如图直线AB，CD，EF相交于O点，写出图中所有的对顶角。 分析： 识别图中的对顶角应从这个较复杂的图形中分解出三

6、个基本图形（即定义图形）即直线AB、CD相交于O；直线AB，EF相交于O；直线CD，EF相交于O。由于两条直线相交组成对顶角，所以上述图中共有6对对顶角。 解：图中共有6对对顶角，它们是：AOC和BOD，AOD和BOC；AOF和BOE，AOE和BOF；COF和DOE，COE和DOF。 2、关于垂线的概念。 （1）垂线是相交线的特殊情况，当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫另一条直线的垂线。由这点出发来判定两条直线是否垂直，反之若两直线垂直那么交角都是直角。 BOC=900（已知）， CDAB于O（已知）， CDAB（垂直定义）， BOC=900

7、（垂直定义）， 这是判定两条直线互相垂直的依据 这是两条直线垂直的性质 （2）垂线的性质：性质一是说垂线的存在性和唯一性，性质二是说垂线段最短。 3、关于点到直线的距离的概念：由垂线段最短这个性质得到“点到直线的距离”的概念。这个概念与“点到点的距离”一样，是一个数量概念，指的是垂线段的长。（即直线外一点到垂足的距离） 例3、判断下列说法是否正确，若错误请说明理由： （1）画点到直线L的距离，（2）作出A，B两点距离。 （3）过直线AB外一点C，画AB的垂线，并使它过AB上一点D。 （4）过直线AB上一点C，画AB的垂线，并使它过AB外一点D。 解：（1）错，因为从直线外一点到这条直线的垂线段

8、的长度，叫做点到直线的距离。点到直线的距离是垂线段的长度，所以是不能画的，只能度量。 （2）错，因为连结两点的线段的长度，叫做这两点的距离，所以两点的距离也要经过度量得到。 （3）错，因为过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，因此过C点画AB的垂线不一定能过AB上的D点，除非D点正好是垂足。 （4）错， 与（3）题理由相同，过C点画AB的垂线不一定能过AB外的一点D。 例4、如图按要求作：（1）过E点作直线CD的垂线。 （2）量出F点到直线AB的距离。 （3）量出EF两点的距离。 解：（1）过E作ENCD于N，（注意EN要画成垂线，不要画成线段EN）。 （2）先做出线段FMAB于M，再量出FM

9、的长为约1.2cm，F点到直线AB的距离约为1.2cm。 （3）先连结EF，再量出线段EF的长约为1.9cm, E、F两点的距离约为1.9cm。（不要画垂线） 4、 三线八角的概念：两条直线被第三条直线所截，按其不同的位置构成了同位角、内错角、同旁内角，关键在于辨别哪是第三条截线。 如图，直线CD、EF被AB所截得的， 同位角：1和5；2和6；4和8；3和7（共4对）。 内错角：4和6，3和5（共2对）。 同旁内角：4和5，3和6（共2对）。 通过细心观察进一步归纳概括这三种角的异同。 相同点：每对同位角，内错角或同旁内角都以三条直线为边。 不同点：顶点不同。 如图 甲中直线AB、CD被EF所

10、截时，将所有的同位角单独移出将是图乙中的形状，每对同位角均有一边落在第三条直线EF上，其他两边分别在直线AB和直线CD上。 图乙：（四个图形多么象字母“F”字。） 图丙： 将内错角移出如图丙，（二个图形多么象字母“Z”字） 图丁： 将同旁内角移出如图丁，（二个图形可想象为字母“U”字） 例5、如图（1） 1和2是哪两条直线被哪条直线所截得的什么角，（2）AB、CD被BD所截的内错角是哪些角。 分析：（1）为了排除干扰，可将1和2分解出来，如图甲。不难看出1和2是由直线AD，BC被直线AC所截而成的内错角。 （2）也象解（1）一样，将直线AB、CD和BD这三条直线分解出来，观察分解图乙，可迅速准

11、确做出回答。AB、CD被BD所截的内错角是3和4。 较复杂的图形中为了观察方便，可将有关的三条直线用色笔描出来，还可把有关的角画上记号，使图形清晰可辨。开始也可以从复杂图形中分解出基本图形，在基本图形上辨认，逐步形成头脑中的想象能力，这是迅速准确观察复杂图形的重要方法。六、简化的“三段论证模式”。 几何命题的推理证明，采用的是3段论式，即大前提、小前提、结论。例如： 对顶角相等（大前提）， 1与2是对顶角（小前提）， 1=2（结论）， 大前提：一般性的判断。小前提：是与大前提相关联的特殊判断。二个判断做出的新的判断是结论。 在几何命题论证的过程中，则把大前提做为推证的依据，填注在结论后面的括号

12、内，以说明这个结论是根据大前提得来的。一个命题的推证过程要由几个这样的3段式构成。 1和2是对顶角（已知）， 1=2（对顶角相等）， 1+2=900（已知） 又2+3=900（已知） (小前提) 1=3（同角的余角相等） 结论 大前提测试选择题1如图， AB交CD于O，OE是顶点为O的一条射线，图中的对顶角和邻补角各有（ ）组。 （A）1组，3组 （B）2组，4组 （C）2组，6组 （D）3组，8组 2 如图，直线AB，CD相交于点O，且AOD+BOC=1000. 则AOC是（ ）度 （A）1000 （B）900 （C）1500 （D）1300 3如图， 直线AB与直线CD相交于O，OE平分A

13、OD，BOC=BOD300，则COE的度数是（ ） （A）1100 （B）142.50 （C）1500 （D）750 4已知，在同一平面内，过点O作ONAB，又过点O作OMAB，所以OM与ON重合，其理由是（ ） （A）过两点只有一条直线 （B）经过一点只有一条直线垂直于已知直线 （C）过一点只能作一条垂线 （D）垂线段最短5直线AB，CD相交于点O，OEAB于O，且DOE=4COE，则AOD的度数是（ ） （A）1200 （B）1500 （C）980 （D）1260 答案与解析答案：1、C 2、D 3、B 4、B 5、D解析： 1答案：（C） 解析：判断对顶角和邻补角的依据是它们的定义，此外在判断的时候也有规律可循，如判断在直线AB上的邻补角时可以这样作，先在看角AOB被OE 所分成的两个角，它们是邻补角，被射线OC也分成了两个角也是邻补角。依据这样的方法判断，可以保证不重不漏，共有6组邻补角。 2答案：（D） 解析：由对顶角相等可得AOD，BOC都是500，再由邻补角的定义可得AOC的度数是1300 3答案：（B） 解析：设BOC为x0,BOD为y0 ，由条件得 解得 COE=1800 750=142.50 4 答案：（B） 5答案（D） 解析：由已知条件可先得到 DO