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1、2018年普通高等学校招生全国统一考试（新课标II卷） 理科数学2018.6.29本试卷4页，23小题，满分150分考试用时120分钟一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1（ ）A B C D1【解析】，故选D2已知集合，则中元素的个数为（ ）A9 B8 C5 D42【解析】，元素的个数为9，故选A3函数的图像大致为（ ）AO11xy BO11xyCO11xy DO11xy3【解析】，即为奇函数，排除A；由排除D；由排除C，故选B4已知向量满足，则（ ）A4 B3 C2 D04【解析】，故选B5双曲线的离心率为，则其渐近线方程为（
2、）A B C D5【解析】离心率，所以，渐近线方程为，故选A6在中，则（ ）A B C D输出是否结束开始6【解析】，由余弦定理得，故选A7为计算，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入（ ）ABCD7【解析】依题意可知空白框中应填入第1次循环：；第2次循环：；第50次循环：，结束循环得，所以选B8我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素数的和”，如，在不超过30的素数中，随机选取两个不同的数，其和等于30的概率是（ ）A B C D8【解析】不超过的素数有：，共10个从中选取两个不同的数，其和等于的有：与、与、与，共3对则所
3、求概率为，故选C9在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）A B C DD1ABCDA1C1B1xyz9【解析】建立如图所示的空间直角坐标系，则，所以，则，故选C10若在上是减函数，则的最大值是（ ）A B C D10【解析】因为在区间上是减函数，所以的最大值是，故选A11已知是定义域为的奇函数，满足若，则（ ）A B C D11【解析】因为，所以，则，的最小正周期为又，所以，选C12已知是椭圆的左、右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，则的离心率为（ ）A B C D12【解析】如图，因为为等腰三角形，且，所以，则的坐标为，故，化简得，所以离心率，故选DAxyPF2
4、F1O二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13曲线在点处的切线方程为 13【解析】，则曲线在点处的切线方程为14若满足约束条件，则的最大值为 xABCO35y14【解析】可行域为及其内部，当直线经过点时，15已知，则 15【解析】，则，即16已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ASBO16【解析】如图所示，因为，所以，所以又与圆锥底面所成角为，即，则底面圆的半径，圆锥的侧面积三、解答题：共70分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第1721题为必考题，每个试题考生都必须作答第22、23题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：
5、共60分17（12分）记为等差数列的前项和，已知，（1）求的通项公式；（2）求，并求的最小值17【解析】（1）设等差数列的公差为，则由，得，所以，即的通项公式为；（2）由（1）知，因为，所以时，的最小值为18（12分）下图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额（单位：亿元）的折线图020402402202001801601401201008060投资额20002001200220032004200520062007200820092010201120122013201420152016年份14192535374242475356122129148171184209220为了预测该地区
6、2018年的环境基础设施投资额，建立了与时间变量的两个线性回归模型，根据2000年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：；根据2010年至2016年的数据（时间变量的值依次为）建立模型：（1）分别利用这两个模型，求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为哪个模型得到的预测值更可靠？并说明理由18【解析】（1）将代入模型：（亿元），所以根据模型得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元；将代入模型：（亿元），所以根据模型得该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元（2）模型得到的预测值更可靠理由如下：答案一：从折现图可以看出，2010年至2016年
7、的数据对应的点并没有紧密地均分分布在回归直线的上下，2009年至2010年的环境基础设施投资额出现了明显的大幅度增加，这说明模型不能很好的反应环境基础设施投资额呈线性增长而2010年至2016年的数据对应的点紧密的分布在回归直线的附近，这说明模型能更好地反应环境基础设施投资额呈线性增长，所以模型得到的预测值更可靠答案二：从计算结果来看，相对于2016年的环境基础设施投资额为220亿元，利用模型得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显偏低，而利用模型得到的该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为亿元的增幅明显更合理，所以模型得到的预测值更可靠19（12分）设抛物线
8、的焦点为，过且斜率为的直线与交于两点，（1）求的方程；（2）求过点且与的准线相切的圆的方程xFOABy119【解析】（1）焦点为，则直线，联立方程组，得，令，则，根据抛物线的定义得，即，解得（舍去），所以的方程为；（2）设弦的中点为，由（1）知，所以的坐标为，则弦的垂直平分线为，令所求圆的圆心为，半径为，根据垂径定理得，由圆与准线相切得，解得或则所求圆的方程为：或20（12分）如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；PABCMO（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值20【解析】（1）证明：连接，为的中点，即，又，则，即，PABCMOxyz，平面；（2）由（1）知两两互相垂直，
9、以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则，令，则，令平面的法向量为，由，取，得易知平面的一个法向量为，所以，解得（舍去），即，因为，所以与平面所成角的正弦值为21（12分）已知函数（1）若，证明：当时，；（2）若在只有一个零点，求21【解析】（1）方法1：欲证明当时，即证明令，则，则为增函数，得证方法2：时，则，令，则，时，为减函数，时，为增函数，所以，即当时，为增函数，所以，因此，时，（2）方法1：若在只有一个零点，则方程只有一个实数根令，等价于函数的图像与直线只有一个公共点又，时，为减函数，时，为增函数，所以，时，时则时，在只有一个零点方法2：若在只有一个零点，则方程只有一个实数根令，
10、等价于函数的图像与直线只有一个公共点当直线与曲线相切时，设切点为，又，则，此时x1Oy2又当时，为减函数，时，为增函数，所以，且时，时根据与的图像可知，时，函数的图像与直线只有一个公共点，即在只有一个零点（二）选考题：共10分请考生在第22、23题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分22选修44：坐标系与参数方程（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，直线的参数方程为为参数（1）求和的直角坐标方程；（2）若曲线截直线所得线段的中点坐标为，求的斜率22【解析】（1）消去参数，得的直角坐标方程为；消去参数，得的直角坐标方程为；（的直角坐标方程也可写成：或）（2）方法1：将的参数方程：为参数代入得：，即，由韦达定理得，依题意，曲线截直线所得线段的中点对应，即，得因此的斜率为方法2：令曲线与直线的交点为，则由得，其中所以，即的斜率为23选修45：不等式选讲（10分）设函数（1）当时，求不等式的解集；（2）若，求的取值范围23【解析】（1）时，时，解得；时，解得；时，解得，综上所述，当时，不等式的解集为（2），即，又，所以，等价于或，解得的取值范围为或第 1 页 共 10 页
