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1、北师大版数学精品教学资料核心必知1向量数量积的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),则abx1x2y1y2即两个向量的数量积等于相应坐标乘积的和2度量公式(1)长度公式:设a(x,y),则|a|(2)夹角公式:设a(x1,y1),b(x2,y2),a与b的夹角为,则cos 3两向量垂直的坐标表示设a(x1,y1),b(x2,y2),则abab0x1x2y1y204直线的方向向量给定斜率为k的直线l,则向量m(1,k)与直线l共线,把与直线l共线的非零向量m称为直线l的方向向量问题思考1由向量长度的坐标表示,你能否得出平面内两点间的距离公式?提示:设A(x1,y1),B(x2,y2),则
2、(x2x1,y2y1),由向量长度的坐标表示可得|AB|.2坐标形式下两向量垂直与平行的条件有何区别?提示:设a(x1,y1),b(x2,y2),则:abx1x2y1y20,即“相应坐标相乘和为0”;abx1y2x2y10,即“坐标交叉相乘差为0”3直线l的方向向量唯一吗?提示:直线l的方向向量即是与l平行的向量,意指表示该向量的有向线段所在的直线与l平行或重合,所以直线l的方向向量不唯一(有无数个),但它们都是共线向量讲一讲1已知向量a(4,2),b(6,3),求:(1)(2a3b)(a2b);(2)(ab)2.尝试解答法一:(1)2a3b(8,4)(18,9)(10,5),a2b(4,2)
3、(12,6)(16,8),(2a3b)(a2b)16040200.(2)ab(10,5)(ab)2(10,5)(10,5)10025125.法二:由已知可得:a220,b245,ab30(1)(2a3b)(a2b)2a2ab6b222030645200.(2)(ab)2a22abb2206045125.进行向量的数量积的坐标运算关键是把握向量数量积的坐标表示,运算时常有两条途径:(1)根据向量数量积的坐标表示直接运算;(2)先利用数量积的运算律将原式展开,再依据已知计算练一练1已知a(2,1),b(1,3),向量c满足ac4,bc9.(1)求向量c的坐标;(2)求(ab)c的值解:(1)设c(
4、x,y),由得,解得x3,y2.c(3,2)(2)法一:ab(2,1)(1,3)(1,4),(ab)c(1,4)(3,2)134(2)5.法二:(ab)cacbc(2,1)(3,2)(1,3)(3,2)231(2)(1)33(2)5.讲一讲2已知a(1,2),b(2,4),|c|.(1)求|a2b|;(2)若(ab)c,求向量a与c的夹角尝试解答(1)a2b(1,2)2(2,4)(3,6)|a2b|3.(2)b(2,4)2(1,2)2aaba,(ab)cac设a与c的夹角为,则cos 0,即a与c的夹角为.1已知向量的坐标和向量的模(长度)时,可直接运用公式|a|进行计算2求向量的夹角时通常利
5、用数量积求解,一般步骤为:(1)先利用平面向量数量积的坐标表示求出两向量的数量积;(2)再求出两向量的模;(3)由公式cos 计算cos 的值;(4)在0,内,由cos 的值确定角.练一练2已知向量a(x1,y1),b(x2,y2),e(0,1),若ab,|ab|2,且ab与e的夹角为,则x1x2()A2BC D1解析:选Bab(x1x2,y1y2)(ab)e(x1x2)0(y1y2)1y1y2.|ab|2,|e|1,ab与e的夹角为,cos ,y1y21,又由|ab|2知,(x1x2)2(y1y2)24,(x1x2)23.x1x2.讲一讲3已知a(,1),b.(1)求证:ab;(2)是否存在
6、实数k,使xa2b,ykab,且xy,若存在,求k的值;不存在,请说明理由尝试解答(1)证明:ab(1)0.ab.(2)x(,1)2,yk(,1).假设存在k使xy,xy(1)(1)化简得:4k20k即存在k,使xy.两向量互相垂直,则其数量积为零,反之也成立,因此:(1)判断两个向量是否垂直,只需考察其数量积是否为0;(2)若两向量垂直,则可利用数量积的坐标表示建立有关参数的方程,进而求解练一练3(安徽高考)设向量a(1,2m),b(m1,1),c(2,m)若(ac)b,则|a|_解析:ac(3,3m),由(ac)b,可得(ac)b0,即3(m1)3m0,解得m,则a(1,1),故|a|.答
7、案:已知向量a(2,1),b(t,1)且向量a与b的夹角为钝角,求实数t的取值范围错解设向量a与b的夹角为,则为钝角,cos 0,ab0.ab(2,1)(t,1)2t1.故t的取值范围是(,)错因错解在于误认为为钝角等价于ab0,实际上,ab0包含两向量反向共线的情况,即的情况,无疑扩大夹角的取值范围正解设向量a与b的夹角为,为钝角.cos 0,ab0,即(2,1)(t,1)2t1.当ab时,21(1)t0,得t2,这时b(2,1)a,b与a反向即当t2时,不合题意故t的取值范围为(,2)(2,)1向量i(1,0),j(0,1),下列向量中与向是ij垂直的是()A2i2jBijC2ij Dij
8、解析:选B可知ij(,1),逐项考察知,(ij)(ij)(,1)(1,)0.ij与ij垂直2已知向量a(1,m),b(3,2),且(ab)b,则m()A8 B6C6 D8解析:选D法一:因为a(1,m),b(3,2),所以ab(4,m2)因为(ab)b,所以(ab)b0,所以122(m2)0,解得m8.法二:因为(ab)b,所以(ab)b0,即abb232m32(2)2162m0,解得m8.3(重庆高考)设x,yR,向量a(x,1),b(1,y),c(2,4)且ac,bc,则|ab|()A. B2C2 D10解析:选B因为ac,bc,所以有2x40且2x40,解得x2,y2,即a(2,1),b
9、(1,2)所以ab(3,1),|ab|.4经过点A(1,0)且方向向量与d(2,1)垂直的直线方程为_解析:设直线的方向向量为m(1,k),由md得2k0.直线的斜率k2,故所求直线的方程为y2(x1)即2xy20.答案:2xy20 5设向量a,b的夹角为,且a(5,5),2ba(1,1),则cos _解析:a(5,5),2b(5,5)(1,1)(4,6)即b(2,3)又|a|5,|b|,且ab(5,5)(2,3)25.cos .答案:6已知向量a(1,2),b(2,2),(1)设c4ab,求(bc)a;(2)若ab与a垂直,求的值;(3)求向量a在b方向上的射影解:(1)c4(1,2)(2,
10、2)(6,6),bc(2,2)(6,6)26260,(bc)a0a0.(2)ab(1,2)(2,2)(12,22),(ab)a(12)2(22)0,得.(3)法一:设a与b的夹角为,则cos .向量a在b方向上的投影为|a|cos ().法二:ab(1,2)(2,2)2,|b|2.向量a在b方向上的投影为|a|cos .一、选择题1若向量a(1,2),b(1,1),则2ab与ab的夹角等于()AB.C. D.解析:选C因为2ab(2,4)(1,1)(3,3),ab(0,3),所以|2ab|3,|ab|3.设2ab与ab的夹角为,则cos ,又0,所以.2已知向量a(3,4),b(2,1),如果
11、向量axb与b垂直,则x的值为()A B.C. D2解析:选Aaxb(3,4)x(2,1)(32x,4x),b(2,1),且(axb)(b),2(32x)(4x)0,得x.3已知向量a(2,1),ab10,|ab|5,则|b|()A. B.C5 D25解析:选C法一:设b(x,y),则ab2xy10,又ab(x2,y1),|ab|5,(x2)2(y1)250与联立得或|b|5.法二:由|ab|5得a22abb250,即520b250b225|b|5.4已知(4,2),(k,2),若ABC为直角三角形,则k等于()A1 B6C1或6 D1或2或6解析:选C当A90时,则4k40,k1;当B90时,又(k4,4)4(k4)2(4)0解得k6;当C90时,则k(k4)(2)(4)0即k24k80,无解故k1或6.二、填空题5(安徽高考)设向量a(1,2m),b(m1,1),c(2,m)若(ac)b,则|a|_解析:由题意知,ac(3,3m),(ac)b3(m1)3m0,解得m,即a(1,1),|a|.答案: