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1、方阵与其伴随矩阵的关系 摘 要 本文给出了阶方阵的伴随矩阵的定义,讨论了阶方阵与其伴随矩阵之间的关系,例如与之间的关系，并且给出了相应的证明过程.关键词 矩阵、伴随矩阵、关系、证明 在高等代数课程中我们学习了矩阵，伴随矩阵。它们之间有很好的联系，对我们以后的学习中有很大的用处。1伴随矩阵的定义.设阶方阵.令,其中是的代数余子式.则称为的伴随矩阵.2矩阵与其伴随矩阵的关系及其证明.2.1=.当可逆时,有,即1.证明：因为所以=.当是可逆矩阵时, ,所以由上式得=即 .证毕.2.2 =.(显然)2.3 若可逆，则=.(显然)2.4 设为阶方阵，则2.引理1.若矩阵,满足,则.证明 因为,所以的列向
2、量是以为系数矩阵的齐次线性方程的解向量.若,则.由克拉默法则知,方程只有零解,从而,进而;若,则方程组的基础解系中含个向量,于是,因此有.证毕.下面证明2.4.当时, 的每一个阶代数余子式都为零.所以为零阵,所以.当时，,=.由引理1知,+.因为 则,知至少有一个阶子式不为零.即 至少有一行不全为零. 所以.因为,从而. 当时，可逆，由1知，也可逆.所以.证毕.2.5 . 当可逆时，.所以. 当不可逆时，.1) 当时，由2.4知.所以.，.则2) 当时，,即，则.证毕.2.6 当可逆时,若为的特征值,则是的特征值.当时，的特征值为零，并是重的.引理2. 设可逆,若为的特征值,则是的特征值.证明
3、: 若,则由得到,于是,这与可逆矛盾,所以.同时由还有.因此,即 是的特征值.引理证毕.下面证明2.6.不妨设的特征值为.则由有.,这说明是的特征值.由引理2知, ,所以,即是的特征值.若,(即)时,所以的特征值且是重的.2.7 若为可逆矩阵,则也是可逆矩阵. 证明:由2.1即可得到此结论.2.8 若为对称矩阵,则也是对称矩阵.2.9 .证明:当,均可逆时, ,所以.当,不都可逆时,则当足够大时,存在使得, 均可逆,此时有,这是关于的恒等式,即取零时,该等式也成立,即.证毕.2.10 若为正交矩阵,则也是正交矩阵.证明:若为正交矩阵,则且,由2.2知.再由2.9知,所以也是正交矩阵.证毕.2.11 ,其中是阶方阵.证明:因为,所以1) 当时,.则 2) 当时,由2.4知.当时,故.当时,令,则,.证毕.通过以上的证明,说明了阶矩阵与其伴随矩阵有很多联系和继承性,理解和掌握这些联系和继承性对我们以后高等代数课程的学习有着重要的意义.
