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1、 . . . 浅析Vandermonde行列式的性质与应用摘 要： 在线性代数与高等代数的学习中，行列式无疑是一个重点和难点，它是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，且其计算具有一定的规律性和技巧性.而Vandermonde行列式是一类很重要的行列式,它构造独特、形式优美、性质特殊，是行列式中的一颗璀璨明珠.为了使我们对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，同时开阔数学视野、培养发散思维能力，以便更好地为我们的科研和生活服务，本文主要阐述了Vandermonde行列式的证法与其相关性质,并用例举法介绍与总结了如何利用Vandermonde行列式计算某些特殊的行列式与其在多项式
2、、向量空间等中的简单应用.关键词：行列式 VandermondeVandermonde行列式Analysis of Vandermonde determinant Properties and ApplicationsAbstract:Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the follow-up course matrix, the basis of vector spaces and linear tran
3、sformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vand
4、ermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of Fr
5、ance and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calculation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vector space.Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant目录1 引言12 VANDERMONDE行列式的定义与证法22.1 Vandermonde行列式的定义22.2 Vandermonde行列
6、式的证法23 VANDERMONDE行列式的性质43.1 Vandermonde行列式的翻转与变形43.2 Vandermonde行列式为0的充分必要条件53.3 Vandermonde行列式推广的性质定理54 VANDERMONDE行列式的应用74.1 Vandermonde行列式在行列式计算中的应用74.1.1 计算准Vandermonde行列式74.1.2 计算特殊的行列式74.2 Vandermonde行列式在多项式与向量空间中的应用104.2.1 Vandermonde行列式在多项式中的应用104.2.2 Vandermonde行列式在向量空间中的应用135 小结15参考文献16辞1
7、7 / 1 引言行列式最早出现在17世纪关于线性方程组的求解问题中，由日本数学家关孝和德国数学家莱布尼茨分别发明，而法国数学家德蒙德(A-T.Vander-monde，1735-1796)对行列式理论做出了连贯的、逻辑的阐述，并命名了著名的Vandermonde 行列式.后许多数学家如柯西、雅可比、泰勒等对其不断发展完善，做了进一步的解析与应用，使得19世纪中期行列式与向量、矩阵完美融合.时至今日，行列式成为了线性代数与高等代数的主要容与重点容之一，是后续课程矩阵、向量空间和线性变换等的基础，而vandermonde行列式在多项式、向量空间、线性方程组、线性变换、矩阵的特征值与特征向量、微积分
8、等理论中都有大量应用，例如对Cramer法则的补充、Lagrange插值公式的推导、向量空间基的证明、与Taylor公式结合求微积分问题等起了重要的作用1 X贤科，许甫华.高等代数M.:清华大学,1998年4月:102.，而其在简化行列式计算方面，更是灵活巧妙，成为了广大学生的有力工具.出于对n阶vandermonde行列式其独特的构造、优美的形式、特殊的性质的好奇与喜爱，我查阅了大量的参考文献后，决定就Vandermonde行列式的证法与相关性质，浅谈其在行列式计算、多项式、向量空间中的基本应用，使得对vandermonde行列式进一步加深了解与应用，培养自身的科研素养.当然我相信，随着科技
9、的进步与更多数学家的进一步研究，Vandermonde行列式这颗璀璨明珠，将会在各领域绽放更耀眼的光芒.2 Vandermonde行列式的定义与证法2.1 Vandermonde行列式的定义我们把型如的行列式叫做Vandermonde行列式，其值为，即=其中表示这个数的所有可能的差（）的乘积（）2 王萼芳，石生明.高等代数M.:高等教育.2003年6月:79-81.2.2 Vandermonde行列式的证法方法一：消元法（降阶法）3 李师正.高等代数解题方法与技巧M.:高等教育.2004年7月:95-96.证明 从第行开始，每一行加上前一行的倍，根据行列式的性质可知行列式的值不变，此时有 =再
10、按行列式首项展开得：=1各列提公因式得：注意到行列式是阶Vandermonde行列式，即已经将用表示出来,降了一阶，并且少了一元.重复用上述方法对再进行求解，经过有限步则可以得到：=（）()()=即证.方法二：数学归纳法4 X禾瑞，郝炳新. 高等代数M.:高等教育.1999年5月:119-120.证明 （1）当时,成立.（2）假设对于阶成立，则对于阶，首先构造一个辅助的n阶行列式： 显然，将按第n列展开，得：其中是行列式中元素的代数余子式，且不含，因此可知是一个n-1次的多项式，它的最高次的系数是，按定义知.另一方面，根据行列式的性质知是的n-1个根，根据多项式的理论，得：取代入，得：即 根据
11、归纳假设，=，因此=.由（1）（2）结论得证.3 Vandermonde行列式的性质3.1 Vandermonde行列式的翻转与变形(1)将Vandermonde行列式逆时针旋转，得.(2)将Vandermonde行列式顺时针旋转，得.(3)将Vandermonde行列式旋转，得.3.2 Vandermonde行列式为0的充分必要条件一个Vandermonde行列式为0的充分必要条件是：这n个数中至少有两个相等.3.3 Vandermonde行列式推广的性质定理行列式= =(k=0,1,2n-1)其中符号“”中的下标“n”表示n阶行列式，“(k)”表示仅缺少的k次方幂元素行；是中（）个数的一个
12、正序排列；表示对所有（）阶排列求和；5 黄玉蝉.多项式、线性方程组与Vandermonde行列式的相互应用J.XX大学学报.1994(2):4-6.证明 （i）在行列式中增补第（）行和（）列相应的元素，考虑（）阶Vandermonde行列式= =(ii)由上式的两端分别计算多项式中项的系数.在上式左端，由行列式计算的系数为：行列式中该元素对应的代数余子式，在上式右端，由多项式计算知为的个不同根，根据根与系数的关系，项的系数为：(k=0,1,2n-1)其中是1，2中（）个数的一个正序排列，表示对所有（）阶排列求和.（iii）比较中项的系数，计算行列式.因为(*)式左右两端项系数应该相等，所以，则
13、(k=0,1,2n-1)定理得证.4 Vandermonde行列式的应用4.1 Vandermonde行列式在行列式计算中的应用4.1.1计算准Vandermonde行列式利用Vandermonde行列式推广的性质定理可以计算各阶准Vandermonde行列式（缺行的Vandermonde行列式也叫做超Vandermonde行列式或准Vandermon-de行列式），简便易行6 X建中.X德蒙德行列式的一个性质的证明与其应用J.XX大学学报（自然科学版）.2000(4):8-10.特别地，当时，令=1，即为Vandermonde行列式.例1 计算准Vandermonde行列式解由定理，=6,=
14、3,所以=4.1.2 计算特殊的行列式Vandermonde行列式在行列式计算中的应用，除了应用其推广的性质定理来计算各阶准Vandermonde行列式之外，还可以用以下一些方法来计算某些类似Vandermonde行列式的特殊的行列式.（1）法一: 所给行列式各行（列）都是某元素的不同方幂，但其方幂次数或其排列与Vandermonde行列式不完全一样，需利用行列的性质（如提取公因式，调换各行（列）的次序等）将其化为Vandermonde行列式7 袁旭华，杨海文，赵耀峰.几种类Vandermonde行列式的计算J.XX大学学报（自然科学版）.2006(1):7-9.例2 计算n阶行列式解（2）法
15、二：利用行列式性质，改变原行列式中的元素，产生以新元素为行（列）的Vandermonde行列式.例3 计算阶行列式其中，（）解提取各行的公因式，得：（Vandermonde行列式）上式右端的行列式是以新元素为列元素的 阶Vandermonde行列式，所以： =（3）法三：如阶行列式的第行（列）由两个分行（列）所组成，其中任意相邻两行（列）均含有一样分行（列），且中含有个分行（列）组成的Vandermonde行列式，那么将的第行（列）乘以（）加到（）行（列），消除一些分行（列），即可化成Vandermonde行列式8 王新长.Vandermonde行列式在高等代数中的应用J.井冈山师X学院学报（自然科学版）.2002(3):3-5.例4 计算行列式=解在的第2行中去掉与第一行成比例的分行，得到=在上面行列式的第3行中去掉与第2行成比例的分行，得到一个新的行列式，在此新行列式的第
