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1、利用缓和曲线边界条件求解缓和曲线方程摘要本文利用缓和曲线边界条件确定其代数方程式。首先根据题意，得到缓和曲线的边 界条件，利用缓和曲线起点终点处的条件列出曲率待定方程，然后利用曲率边界条件确 定缓和曲线曲率方程，再通过对曲率方程进行二次积分就可以得到缓和曲线方程的通 式，与此同时再结合火车在缓和曲线上行驶时所需要满足的力学要求，即离心力始终等 于向心力，根据牛顿第二定律利用平衡关系解出缓和曲线方程通式中的待定系数，从而 得到缓和曲线方程。我们通过对题目进行深入的阅读理解，并结合查询的资料，在忽略火车运行时铁轨、 车轮各部分弹性变形，建造误差等因素的影响下，以缓和曲线起点为原点，直轨所在直 线为
2、X轴建立直角坐标系，建立铁轨线路模型，求解问题。根据题意，我们发现，缓和 曲线的作用即使火车由直轨平稳进入弯道，就是要其在缓和曲线上所受离心力始终等于 向心力，转化为数学表达即缓和曲线曲率，偏角，坐标等需要满足的边界条件。因而选 择利用缓和曲线的边界条件，建立缓和曲线的微分方程，求解缓和曲线方程。由于各种 情况下建造的缓和曲线都必须满足上述边界条件，因而通过利用这些边界条件求解缓和 曲线微分方程得到的曲线方程的方法具有通用性，待定系数较少，求解简单，在不同要 求下，可以通过代入方程系数的不同取值得到最终所需的曲线方程。通过这个方法可以 求得：（一）在超高一定的情况下的缓和曲线方程。（二）在超高
3、不定的情况下，缓和曲线方程与超高h和缓和曲线总长度l有关，并确定 00其关系。该曲线方程形式简单，系数较少，可以较好地满足实际建设需求。在本文讨论过程 中，我们发现，如果加入对缓和曲线曲率变化率和缓和曲线曲率变化率的变化率的条件 约束，可以分别获得五次多项式和七次多项式，将会更好的满足缓和曲线的作用。 关键字：缓和曲线 曲率 微分方程一、问题的背景及分析1.1 问题的背景2008 年4月 28日，胶济铁路发生了举国震惊的“4.28”特大交通事故，经事故调 查组研究调查，发现事故发生原因是北京至青岛的T195次列车在本应限速80公里的弯 道路段严重超速，以实际时速135公里通过弯道路段，造成铁轨
4、损毁，列车脱轨，酿成 车毁人亡的惨剧。1.2 问题的描述及分析火车在弯道上行驶时，由于火车速度较快，会产生离心力F,如果弯道上内外轨等 高，则该离心力必须由外轨对火车外侧车轮的支持力来平衡，这就使得外侧车轮与外轨 互相挤压，增大车轮和铁轨之间的磨损，严重时甚至会使铁轨变形，火车脱轨，造成车 毁人亡的惨剧。因而火车在弯道处需要将外轨抬高，使得内外轨产生一定的高度差 h， 利用火车自身的重力和轨道对火车的支持力所产生的向心力平衡离心力，减轻火车车轮 与外轨之间的压力，减少磨损，保证行车平稳安全。而这也就需要在铁路直轨与弯道之 间增加一段曲线，使得火车能够由直轨平稳进入弯道，火车所受的离心力不会突变
5、，能 够从零均匀增大到F，外轨的超高也能够从零逐渐增加到h,所加的这段曲线也就叫做缓 和曲线。二、符号约定及假设2.1 符号约定F火车受到的离心力m火车整车质量v火车低速速度v0火车高速速度r缓和曲线任意一点处曲率半径a铁轨内外轨倾角k缓和曲线曲率l缓和曲线上任意一点到起点的距离10缓和曲线总长度R弯道半径x缓和曲线横坐标y缓和曲线纵坐标h弯道超咼h0缓和曲线上任意一点超咼s0铁轨轨距2.2 模型假设为便于模型的建立和问题的解决，作出假设如下：（一）直轨和弯道为严格的直线和圆弧，建设过程中的误差忽略不计；（二）钢轨，路基，车轮均为刚性不考虑弹性变化；（三）建设过程中的各项建设指标符合国家标准；
6、（四）不考虑地形地物对轨道建设的影响；三、模型分析、建立与求解3.1 问题分析 注意到题目中要求缓和曲线的作用是连接直轨与弯道，使得火车所受离心力不会突 变，超高不会突变，因而缓和曲线应该满足如下的几个条件：（一）火车在缓和曲线上 任意一点所受的离心力和向心力相等；（二）缓和曲线的曲率应该由直轨处的 0 逐渐增 大到弯道处的丄，使得缓和曲线可以和直轨，弯道均平稳衔接，且曲率无突变，乘客乘R坐舒适。利用上述的两个条件分别求解以下问题：（一）低速状态下，缓和曲线方程；（二）外轨超高不变时，缓和曲线方程；（三）外轨超高改变时，缓和曲线方程。3.2 模型的建立与解决：如图所示，以缓和曲线起点为原点，直
7、轨所在直线为 x 轴建立坐标系。 由题可知：列车受到的离心力从零均匀地增大到 F， 在缓和曲线上任意一点，火车所受的离心力和向心力平衡，如图所示即:mv 2=mg tan r又缓和曲线上，向心力逐渐增大，即tan a逐渐增大，所以，当m, v 一定时，k均匀增大；由问题分析可知，在缓和曲线起点处，k（心0）= 0 ；缓和曲线终点处, k = 1（1=10） R 。可设：k = ai + a21，式中a , a2为待定常数。将缓和曲线满足的边界条件代入该式, 可得：1la 0 a =则 k =1，2 Rl，则 Rl 00由于缓和曲线偏角较小，所以缓和曲线上任意一点到起点的距离X u l y 沁
8、k，（ x）x所以 y（ X） RT0对该式进行二次积分，并利用缓和曲线偏角要求y（）= 0和坐标要求 y（）= 0的条件可得：X3y =6RT 03.1.1 问题一的分析与解决：1 二200m，代入缓和曲线通式方程可得:具题所知R = 400 m,X3y =4800003.1.2 问题二的分析与解决： 在缓和曲线上任意一点，火车所受的离心力和向心力平衡由此可得：mv2mg tan a = _ 由 于 弯 道 上 的 内 外 轨 的 倾 角 较 小 ， 因 而 缓 和 曲 线 上 倾 角 极 小 ， 则htan a ua u sm a = s ，0hv 2则mg =m sR0 由于题目要求超高
9、不变，在题设条件下 v2s 由可得：h0 = -R0通 过 查 询 资 料 可 知 中 国 铁 路 轨 距 主 要 采 用 标 准 轨 距 s0 = 1435 mm 卩。二 120 kmih , R = 400m，则可得 % = 0.407m。在超高不变时，如果火车通过弯道的速度变为v = 200kmh，由可知:v2sr =0_hg 0可得 r = 1110.4m由于缓和曲线全长受到建设过程中地形地物等因素的制约，因而10不定，实际建 造过程中根据建设需要选定，所以缓和曲线方程调整为：x3y =6662.51 03.1.3 问题三的分析与解决：v2s由可得：丫 = rg，将该式代入，h0gx
10、3h g可得y = 6V2SV00由可知，当火车速度一定时，缓和曲线方程与超高h，缓和曲线长度l有关，而00l 由工程建设实际需求确定，是一个变量，所以在超高改变的情况下，缓和曲线方程式0是一个四维不定方程，即：189 x 3 hy = 0_512500 l 0在实际建设过程中，可在根据建设需要确定缓和曲线长度后，通过图像求得任一超 高下的缓和曲线方程，从而确定铁轨建设方案，解决问题。四、模型的评价与扩展本文的优点如下：1. 本文条理清晰，结构严谨，通过合理的问题假设，结合简单的力学理论，完成了 对复杂问题的求解。2. 本文利用缓和曲线的曲率来确定其方程式，直接构造微分方程，利用曲率，偏角，
11、坐标等缓和曲线边界条件，求解出缓和曲线方程；3. 分析了多种缓和曲线的构造要求，使构造出的缓和曲线可以满足实际建设需求， 可操作性强。本文的缺点如下：1.缺乏实践，对实际建设要求理解不够全面详细，仅有理论上的思考和计算。2.问题假设条件较多，使得所求的缓和曲线方程应用范围较窄，精确度较低，无法 满足更高要求的建设。五、模型拓展本文仅考虑了满足曲率要求时的缓和曲线方程，精确度不高，若需提高缓和曲线的 精确度，可以考虑曲率变化率和曲率变化率的变化率的要求，从而得到更精确的方程。 对此方程的求解，留作日后进一步研究。六、参考文献(1)http:/ BB%BA%BA%CD%C7%FA%CF%DF%CE%CA%CC%E2(2)娄平，曾庆元利用缓和曲线的曲率确定其方程式的通用方法铁道学报 2003.6 (3)王祖华铁路缓和曲线代数式方程的通用设计方法石家庄铁道大学学报 2011.6
