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1、竖直平面内的圆周运动的临界问题竖直平面内的圆周运动是典型的变速圆周运动。一般情况下，只讨论最高点和最低点的情况， 常涉及过最高点时的临界问题。临界问题的分析方法：首先明确物理过程，正确对研究对象进行受力分析，然后确定向心力 根据向心力公式列出方程，由方程中的某个力的变化与速度变化的对应关系，从而分析找出临界值。1. “绳模型”如图6-11-1所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况。注意：绳对小球只能产生拉力）图 6-11-11）小球能过最高点的临界条件：绳子和轨道对小球刚好没有力的作用v2mg = mRv临存；Rg（2）小球能过最高点条件：v三,；Rg（当v 时，绳对球产生拉力，轨道对球
2、产生压力）（3）不能过最高点条件：v iRg（实际上球还没有到最高点时，就脱离了轨道）2 .“杆模型”如图6-11-2所示，小球在竖直平面内做圆周运动过最高点情况 注意：轻杆和细线不同，轻杆对小球既能产生拉力，又能产生推力。）图 6-11-2（1）小球能最高点的临界条件:v = 0，F = mg （F为支持力）（2）当0 v F 0 （F为支持力）（3）当 v =吋Rg 时，F=0（4）当v jRg时，F随v增大而增大，且F 0 （F为拉力）【案例剖析】例1.长为L的细绳，一端系一质量为m的小球，另一端固定于某点，当绳竖直时小球静止, 再给小球一水平初速度v，使小球在竖直平面内做圆周运动，并且
3、刚好能过最高点，则下列说法 0中正确的是 （）A. 球过最高点时，速度为零B.球过最高点时，绳的拉力为mgC.开始运动时，绳的拉力为m v2LD.球过最高点时，速度大小为解析：开始运动时，由小球受的重力mg和绳的拉力F的合力提供向心力，即F - mg = mL， LF m-L + mg，可见C不正确；小球刚好过最咼点时，绳拉力为0， mg = m， v Lg，所 LL以，A、B、C均不正确。故选：D例2：如图6-11-3所示，一轻杆一端固定质量为m的小球，以另一端 O为圆心，使小球做半径为R的圆周运动，以下说法正确的是（）A. 球过最咼点时，杆所受的弹力可以等于零B. 球过最高点时，最小速度为
4、jRgC. 球过最高点时，杆对球的弹力一定与球的重力方向相反图6-11-3D. 球过最高点时，杆对球的弹力可以与球的重力反向，此时重力一定大于杆对球的弹力解析：小球用轻杆支持过最高点时，临-0 ,故B不正确；当V 、：Rg时，F = 0故A正确。 当0 v F 0，F为支持力故D正确。当v 页时，F 0，F为拉力，故C不 正确。故选：A、D例3.绳系着装水的水桶，在竖直平面内做圆周运动，水的质量m = 0.5kg，绳长L = 40cm, 求：（1）为使桶在最高点时水不流出，桶的最小速率？（2）桶在最高点速率v = 3m/s时，水对桶底的压力？ 解析：（1）在最高点水不流出的条件是重力不大于水做
5、圆周运动所需的向心力。即：mg v 时，F为拉力。临*临界临界故选： A、C2. （1999年 全国）如图6-11-6所示，细杆的一端与小球相连，可绕过O点的水平轴自由转 动，现给小球一初速度，使它做圆周运动，图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高点，则杆对球的作用力可能是（）A. a 处为拉力，b 处为拉力/ 1 B. a 处为拉力，b处为推力 o :C. a 处为推力，b 处为拉力 1 yD. a处为推力，b处为推力a图 6-11-6解析：小球到最低点时，向心力向上，此时细杆的作用力与小球的重力的合力提供向心力， 细杆作用力向上，一定为拉力；当到最高点时，向心力向下，当0 v 殛时， R
6、g，F mg，此时为拉力。故选：A、B萄向3. 长为 L 的轻杆，一端固定一个小球，另一端与光滑的水平轴相连。现给小球一个初速度， 使小球在竖直平面内做圆周运动，已知小球在最高点时的速度为v,则下列叙述正确的是 （）A. v的最小值为JgLB. v由零逐渐增大，向心力也逐渐增大C. v由零逐渐增大，杆对小球的弹力也逐渐增大D. v由gL逐渐减小，杆对小球的弹力逐渐增大解析：这是“杆模型”小球到最高点速度v 0，A错；由F = m上得，v增大，F增向 L向大，B对；当0JLg时，F随v增大而增大（F为拉力），C错，D对。故选：B、D4. 质量为m的小球在竖直平面内的圆形轨道的内侧运动，经过最高点
7、而不脱离轨道的临界速 度为v,当小球以2v的速度经过最高点时，对轨道的压力是（）A. 0B. mgC. 3mgD. 5mg解析：到最高点临界速度为v，贝y： mg二mv2 ;当速度为2v时，贝卩：F + mg = m （2v （FRR为压力）；由上两式解得：F = 3mg。故选：C-5. 长为L的细绳一端拴一质量为m的小球，小球绕细绳另一固定端在竖直平面内做圆周运动）C. F1= 5mgD. F2= 0设小球通过最低点和最高点时的速度分别为；和v2，细线所并恰能通过最高点，不计空气阻力，受拉力分别为F、F，则 （1 2A.；=辰B. v2= 0v 2得：mv 2 = mg 2 L + mv 2
8、,2122解析：小球恰能通过最高点，细线拉力F2= 0,有mg -加巳，得 7=匾；由机械能守恒解得：；=丫5疋； 通过最低点时，有F - mg = m ，解得F = 6mg 。故选： A 、 D16. 质量可忽略，长为L的轻棒，末端固定一质量为m的小球，要使其绕另一端点在竖直平 面内做圆周运动，那么小球在最低点时的速度v必须满足的条件为（）A. v 5 R28. 如图6-11-8所示，杆长为L，杆的一端固定一质量为m的小球，杆的质量忽略不计，整个 系统绕杆的另一端O在竖直平面内作圆周运动，求：(1) 小球在最高点A时速度v为多大时，才能使杆对小球m的作用力为零？A(2) 小球在最高点A时，杆
9、对小球的作用力F为拉力和推力时的临界速度是多少?(3)如m = 0.5kg, L = 0.5m, v = 0.4m/s,则在最高点A和最低点B时，杆对小球mA的作用力各是多大? 是推力还是拉力?解析： (1) 若杆和小球之间相互作用力为零，那么小球作圆mv 2j周运动的向心力由重力mg提供，mg = a 解得：vA = *LgLA(2)若小球m在最高点A时受拉力F，则F + mgv2m解得v1十+牛 莎若小球m在最高点A时受推力F，则mg - F = m= 解得：v = Lg - FL 、；LgL2 m可见vA = Jig是杆对小球m的作用力F在推力和拉力之间突变的临界速度.(3)杆长 L =
10、 0.5m 时，临界速度 v = -JLg = *05 x 10 m/s =2.2 m/s， v = 0.4m/s R，所以，小球一定落在AE上。故选：A10. 如图6-9-10所示，半径为R,内径很小的光滑半圆管竖直放置，AB段平直，质量为m的小球以水平初速度v射入圆管。0(1) 若要小球能从C端出来，初速度v多大？0(2) 在小球从C端出来瞬间，对管壁压力有哪0图 6-11-10解析：(1)小球恰好能达到最高点的条件是人尸0，此时需要初速度为v，由机械能守恒： 临0mv 2=mg2R得y = ：4 Rg ,因此要使小球能从C端出来需v 0,故入射速度v、：4Rg 200c0(2)小球从C出来端出来瞬间，对管壁压力可以有三种典型情况：几种典型情况，初速度v各应满足什么条
