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1、数学课程思政教学研讨：在概念教学中落实育人价值诚如李老师所言，“概念是最基本的思维形式，数学概念是数学基础知识和数学基本命题的重要组成部分。”显然，如果没有对概念的深刻理解，就无法形成数学的判断和推理，也掌握不了数学的法则和定律，更谈不上对数学思维的培养。不过，这里需要注意的是，李老师关注的是“数学概念”的教学，但当李老师把数学概念分成四种概念类型（形成性概念、同化型概念、符号化概念、约定式概念）时，这里被某某类型进行修饰的“概念”其实已经成为教育教学层面的“概念”。再说的简单一些，李老师四种概念类型的划分是“个人化”的，是基于对不同数学概念特点的认知及对教学经验的总结的，它们区别于数概念、数
2、量概念、几何图形概念、度量概念这些数学概念。所以，提出四种概念类型的李老师就做了概念形成中不可或缺的事：分类、命名。概念本身即抽象的结果，李老师提出四种概念类型，抽象的其实是“对数学概念的教学经验”，其目的，是让教师更好地把握住不同数学概念的教学，让学生理解不同数学概念的内涵。以上两段“破题”的话有一点“绕”，需要您静心体会。还需要特别指出的一点是：由事物抽象出概念内涵是一个过程，但将概念内涵命名为概念名称则又是一个过程。这两个过程在最初的概念形成中是联系的、有目的的，但概念名称一旦形成再回头去教概念时，很容易犯“教学法颠倒”（弗赖登塔尔语）的错误，即误认为学生能说出概念名称就是理解了概念内涵
3、。而现实中对数学概念的教学可不止“误认为学生能说出概念名称就是理解了概念内涵”这仅仅是比较明显、多见的教学问题。比如在“分数的初步认识”中一定要让学生说出“平均”两个字，甚至有教师由此误以为“平均”就是各部分长得一样，而其实“平均”意味着“各部分的地位一样”。而其他“抠字眼”的教学，让学生“鹦鹉学舌”般说出概念标准定义的教学，不胜枚举。是的，诚如李老师及其团队的实践所昭示的，不同的数学概念有不同的教学侧重，不同的教学流程，但我们一定要注意，不管是哪一种类型的概念的教学，都应该有一些共同的底线！比如，在心理学层面，要为学生提供能和他的生活经验、学习经验对接的案例或情境（经验性原则），要以初级概念
4、的扎实建构来作为高级概念的基础（循序渐进原则）；比如，教学层面，要让学生经历“材料感知-比较归纳-分类与抽象-命名”的概念形成的过程，真正感悟概念的内涵；比如育人层面，要创设良好的课堂氛围，让学生有机会多元表征自己的独立思考，并在与伙伴的交流、分享中，学会倾听，学会悦纳，立德树人！李老师的四种概念类型的分类，其实是一个教学工具，而不是一种严格的科学概念。透过李老师提供的工具以及后续会陆续刊登的李老师团队的实践案例，作为一线教师的我们应该看到的是概念学习背后的“人”，即学生学习概念的过程有没有充分展开，他们的想法（包括错误的“迷思”）、潜能有没有得发展与深化及反思的机会。在概念教学中，落实育人价
5、值，既是我们责无旁贷的工作职责，也是我们完全可以实现的教学理想。概念是最基本的思维形式，数学概念是数学基础知识和数学基本命题的重要组成部分。没有对概念的深刻理解，就形不成数学的判断和推理，也掌握不了数学的法则和定律，更谈不上对数学思维的培养。古希腊著名学者阿基米德曾经说过，如果给我一个支点，我就可以撬起整个地球。在数学的世界里，概念就是那个撬动地球的支点。这个“支点”的重要性充分地体现在教材内容编排的体量上，尤其在小学阶段，可以毫不夸张地说，数学课不是在让学生建构一个新的数学概念，就是在让他们利用原有的数学概念解决一个个新的数学问题。那么什么是概念呢？认知心理学上说，所谓的概念就是人脑对客观事
6、物本质属性的思维反映。如果对概念的这个定义做进一步追问的话，就会衍生出两个关键性问题，第一，什么是客观事物的“本质属性”？第二，要知道“人脑是如何反映客观事物本质属性的”？第一个问题比较简单，通过一个具体的案例可以作出说明。比如“三角形”，它是小学生在第二学段从抽象的视角认识的重要几何概念之一，在未作出数学抽象之前，学生所看到的三角形都是依附在三脚架、红领巾、指示牌等客观事物上。这些客观事物名称不同、形状不同、大小不同、颜色不同、摆放角度也不同，但刨去这些个性差异，它们都有两个共性特征：“由三条线段围成”和“封闭的”，如果把“由三条线段围成的封闭图形”画在平面上的话，就成了几何学上的概念“三角
7、形”。在这个案例中可以非常清楚地看到“由三条线段围成的封闭图形”就是“三角形”这个概念的本质属性。至于“三角形”依附着的客观事物的名称、形状、大小、颜色、角度等都是“三角形”这个概念的非本质属性。数学上所说的理解概念就是指对概念本质属性的认识。第二个问题相对比较复杂，是要剖析人脑对客观事物的本质属性究竟是如何反映的？要阐述清楚这个问题，首先就要对概念进行分类。因为数学中的很多概念属性是不一样的，学生对不同属性的数学概念本质特征的感知方式也是不一样的。在长期的实践研究过程中，笔者工作室罗列出了小学数学中作为新授内容的所有概念，按照概念的本质属性在人脑中形成思维反映方式的不同把它们划分成四种类型。
8、每种类型的名称，内涵特征，对象例举等详见下表。心理学上说，人脑对不同类型概念本质属性的思维反映方式是不一样的，由此，教师在实施教学时也应该做到“因类试教”，对不同类型数学概念采用不同的教学策略。一、形成性概念：注重对客观事物共性特征的准确归纳所谓的形成性概念是指在生活中能够找到原型，需要对丰富的生活原型的共性特征进行归纳才能提炼本质属性的概念。小学阶段的形成性概念大都集中在图形与几何领域，比如角、三角形、梯形、平行四边形、圆形等都属于这一类概念。需要特别说明的是，形成性概念大都集中在图形与几何领域，但是图形与几何领域的概念未必都是形成性的，尤其从小学高年级开始，很多的几何概念逐步转向于“同化型
9、”。形成性概念的学习一般要经历“生活具象数学抽象生活具象”的过程，这个过程可以浓缩成下图1来表示。图1以“角的初步认识”教学片段为例，谈形成性概念的学习过程。（一）提供生活具象，聚焦概念特征1.了解认知基础教师直接出示课题“认识角”，通过对话了解学生心目中的“角”。师：生活中你在哪些地方见到过“角”，可以说一说或指一指。生1：动物园里很多动物是有角的，牛、羊、鹿头上都有角。生2：人民币上也有角，比如1角和5角。生3：我发现老师讲台上的那把大三角尺上有三个角。生4：我们教室里的凳子、桌子、黑板上都有角。生5：家里的电视机、空调、礼品盒、魔方等好多物体上都有角。生6：师：是啊，生活中到处有“角”，
10、你们刚才说的这些“角”，它们有什么不一样吗？生1：第一位同学找到“角”长在动物的头上，第二位同学找到的“角”印在人民币上，第三位同学找到的“角”长在学具上。生2：后面的几位同学和第三位同学一样，找到的“角”都长在我们身边的物体上。2.关注研究对象师：今天这节课我们要研究的“角”既不长在动物头上，也不印在人民币上，而是要专门研究长在物体上的那一类“角”。这样的角在现实生活中应该还有很多，你还能找到一些吗？同学们把目光聚焦到身边的物体，在物体上找了很多的角。师：老师也从生活中找来了三样常见的物体，剪刀、钟面和三角尺。如下图2，在它们上面有角吗？图2生：有。师：你能把这些角描画出来吗？学生用水彩笔描
11、画出了依附在实物上的角。如下图3。图片图33.讨论对象特征师：这就是你们描画出的角，这些角有什么一样和不一样的地方吗？生1：它们的颜色是不一样的，剪刀上的角是黑色的，钟面上的角是红色的，三角尺上的角是蓝色的。生2：他们的大小也不同。师：你能比出角的大小？生2：三角尺上的角是直角，剪刀上的角比直角小，钟面上的角比直角大。师：厉害了，你不仅知道了“直角”，还知道有些角比直角大，有些角比直角小。谁还想再来说一说？生3：它们的粗细也是不一样的，我发现钟面上的角画得特别粗，另外两个角画得细一些。生4：三个角的边长也不一样，剪刀上和钟面上的角两条边都是一样长的，三角尺上的角两条边一条长，一条短。生5：三个
12、角开口的方向也不一样，剪刀上的角开口朝右，钟面上的角朝上，三角尺上的角开口朝下。师：你观察的真仔细，三个角开口的方向不同，也可以说是摆放的角度不同（教师边说，边用活动角的模型演示）。师：你们找到了那么多不一样的地方，那么它们有一样的地方吗？生6：我发现它们也有一样的地方，就是每个角都有两条边。师：是的，每个角都有两条边，但是有两条边的图形就一定是角吗？老师也画了三组图形，如右图4，请你判断它们是不是角？图4生7：它们都不是角。生8：剪刀手柄的两条边，其中有一条不是直的。直尺和三角尺虽然画出的图形都是两条直直的边，但是两条边都没有相交。师：我听懂你的意思了，角的两条边必须要直，不能曲，而且还需要
13、有交点。生9：我不同意生8的说法，三角尺画出的两条边，如果再继续往右边画下去，它们一定会相交，这个时候就会出现角。很多学生附和生9的发言，教师按照生9的意思延长直线，直到它们相交为止。（二）尝试数学抽象，提炼概念本质1.学生尝试数学抽象师：通过刚才的学习和讨论，谁来说说，长在物体上的角到底有什么共同特点？生：它们都有两条直直的边和一个公共的交点。2.教师提炼概念本质师：是的，角就是由一个顶点和两条直直的边组成的。（三）回归生活具象，进行概念类化1.回归生活具象，再找角师：做个生活的有心人，你还能找到哪些由一个顶点和两条直边组成的图形呢？请你用手指一指顶点，再沿着两条直边摸一摸。学生从现实的物体
14、或平面图形中找到了很多数学中的角，并指出了每个角的顶点和两条边。2.进行概念类化，认识角师：刚才我们找到的这些角形状、颜色、大小、摆放角度，边的长短和粗细等都是不一样的，但它们共同的特征是什么呢？生：它们都是由一个顶点和两条直边组成的。师：在数学上，我们就把由一个顶点和两条直边组成的图形都叫做角在“角的初步认识”这个课例中，可以非常清楚地看到形成性概念学习的一般过程，即“从生活具象出发，聚焦对象特征经历数学抽象，明晰本质属性回归生活具象，进行概念类化”。在形成性概念学习的各个阶段，我们需要特别关注以下几个问题：1.给学生提供丰富而典型的生活具象形成性概念都是能够在生活中找到原型的，对其本质属性
15、的抽象也是基于对生活具象的共同特征归纳的基础上获得的。学生归纳概念本质属性的过程是否顺利，结果是否正确，这在很大程度上与生活具象的丰富性和典型性是密不可分的。课堂上，教师只有提供足够丰富且典型的生活具象，学生才能在个性鲜明的非本质属性的干扰下聚焦到相对隐性的本质属性。在“角的初步认识”这节课中，学生找到了诸如“桌角、凳角、窗角、魔方上的尖角”等许多的生活具象，在足够丰富的生活具象的基础上，教师又选择性地出示了学生描画在剪刀、钟面和三角尺上的三个角。这份学习材料非常典型，因为它几乎包含了关于“角”的所有非本质属性，如形状、颜色、大小、摆放角度，边的长短和粗细等。有了丰富而典型的生活具象，学生才能
16、在比较和思辨中慢慢明白，对象的某些特征很鲜明，但它是个性化的，非本质的，只有所有对象都具备的共性特征才有可能是本质的，尽管这样的特征有时相对隐性。2.让学生尽可能地经历概念抽象的全过程概念有两个基本的要素，内涵和外延，内涵和外延完全匹配是理解概念的基本要求。当丰富的生活具象呈现在学生眼前，学生想要透过纷繁鲜明的非本质属性，精准地抽象出生活具象的本质属性并不是一件容易的事。一旦抽象出来的内涵过多，那么概念所对应的外延就会缩小，如果抽象出来的内涵过少，那么概念所对应的外延就会扩大，所以抽象的精准度是形成性概念教学的难点之一。在“角的初步认识”这节课中，教师通过“操作-思辨-归纳”，让学生充分经历了概念的形成过程，达成了精准抽象的目标。首先是操作，在
