《几何证明选讲》知识点归纳与练习

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1、一、相似三角形的判定及有关性质平行线等分线段定理 平行线等分线段定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其他直线上截 得的线段也相等。推理 1：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边。推理 2：经过梯形一腰的中点，且与底边平行的直线平分另一腰。平分线分线段成比例定理 平分线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 推论：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例。相似三角形的判定及性质相似三角形的判定： 定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似三角形对应边的比值 叫做相似比（或相似系数）。由于从定

2、义出发判断两个三角形是否相似，需考虑6 个元素，即三组对应角是否分别相等， 三组对应边是否分别成比例，显然比较麻烦。所以我们曾经给出过如下几个判定两个三角形 相似的简单方法：（1）两角对应相等，两三角形相似；（2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；（3）三边对应成比例，两三角形相似。预备定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形 与三角形相似。判定定理 1：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应 相等，那么这两个三角形相似。简述为：两角对应相等，两三角形相似。判定定理 2：对于任意两个三角形，如果一个三角形的两边和另一个三角

3、形的两边对应成比 例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似。简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角 形相似。判定定理 3：对于任意两个三角形，如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应 成比例，那么这两个三角形相似。简述为：三边对应成比例，两三角形相似。 引理：如果一条直线截三角形的两边（或两边的延长线）所得的对应线段成比例，那么这条 直线平行于三角形的第三边。定理：（1）如果两个直角三角形有一个锐角对应相等，那么它们相似； （2）如果两个直角三角形的两条直角边对应成比例，那么它们相似。 定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个三角形的斜边和直角边对应成比 例，那么这两个直角三

4、角形相似。相似三角形的性质： （1）相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应平分线的比都等于相似比； （2）相似三角形周长的比等于相似比； （3）相似三角形面积的比等于相似比的平方。相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方。直角三角形的射影定理射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它 们在斜边上射影与斜边的比例中项。二、直线和圆的位置关系圆周定理 圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆周角的一半。 圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数。推论 1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的

5、弧相等。推论 2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90的圆周角所对的弦是直径。圆内接四边形的性质与判定定理定理 1：圆的内接四边形的对角互补。定理 2：圆内接四边形的外角等于它的内角的对角。圆内接四边形判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆。 推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆。圆的切线的性质及判定定理 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 推论 1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点。 推论 2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。弦切角的性质

6、弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角。与圆有关的比例线段 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。 割线定理：从园外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相 等。切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的 比例中项。切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两 条切线的夹角。数学选修 4-1几何证明选讲综合复习题一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.如图4所示，圆O的直径AB=6, C为圆周上一点,

7、BC=3过C作 圆的切线1,过A作l的垂线AD,垂足为D,则ZDAC =()A. 15oB. 30oC. 45oD. 60【解析】由弦切角定理得ZDCA=ZB = 60，又AD丄1，故ZDAG3(, 故选B.2在RtAABC 中, CD、CE分别是斜边AB上的高和中线，是该图中共有x个三角 形与AABC相似，则x =()4.0B.1【解析】2个：AACD和ACBD，故选C.C.2D.33. 一个圆的两弦相交， 一条弦被分为 12 cm 和 18cm 两段， 另一弦被分为 3:8 ， 则另一弦的长为()4. 11cmB. 33cmD. 99 cmC.66cm【解析】设另一弦被分的两段长分别为3k

8、,8 k (k 0)，由相交弦定理得 3k & = IX 1,8解得k = 3，故所求弦长为3k + 8k = Ilk = 33 cm.故选B.4. 如图，在AABC和ADBE中，兰=BC =竺=5，若AABC与DB BE DE 3ADBE的周长之差为10cm，则AABC的周长为()B 25C 50DB. cm C. cm D.25 cm 43【解析】利用相似三角形的相似比等于周长比可得答案 D.5. O的割线PAB交口 O于A, B两点，割线P C D经过圆心，已知22PA = 6,PO = 12, AB = ，则 O 的半径为(3 B. 6 - *14A. 20 cmA.4D.8cm .C

9、. 6 14B第4 题图22O D B第6题图【解析】设口 O半径为r,由割线定理有6x (6 + 3 )二(12- r)(12 + r)，解得r二8 故选 D.6.如图，AB是半圆O的直径，点C在半圆上，CD丄AB于点D， g且 AD 二 3DB，设 ZCOD 二 g，则 tan2=()B. 143【解析】设半径为r，则AD = - r22D. 3C. 4 - 2、沦 ,BD 二 1 r，由 CD2 二 AD - BD 得 CD 二3 r，从而22基 |，故tan 冷二 3，选 47. 在AABC中，D,E分别为AB, AC上的点，且DE/BC , AADE的面积是2cm2,梯形DBCE的面

10、积为6cm2，则DE : BC的值为()A. 1:、3B. 1: 2C. 1: 3D. 1: 4【解析】 AADE AABC， 利用面积比等于相似比的平方可得答案 B.8. 半径分别为 1 和 2 的两圆外切，作半径为 3 的圆与这两圆均相切，一共可作 ()个.A.2B.3C.4D.5解析】一共可作 5 个,其中均外切的 2 个,均内切的1 个,一外切一内切的 2 个, 故选 D.9.如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB/CD .由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形,则四边形ABCD中ZA度数为()第9 题图A. 30B. 45C. 60D. 75【解析】6ZA二360，从而ZA

11、二60，选A.10. 如图， 为测量金属材料的硬度， 用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面， 在材料表面留下一个凹坑， 现测得凹坑 直径为 10mm， 若所用钢珠的直径为 26 mm， 则凹坑深度为( A.1mmB.2 mmC.3mmD. 4 mm【解析】依题意得OA2二AM2 + OM2，从而OM = 12mm， 故 CM = 13 -12 = 1mm，选 A.- 2 -11. 如图，设P,Q为AABC内的两点，且AP = AB第 10 题图AB+4 AC，则AABP的面积与AABQ的面积之比为(B. -C.-54_ 2-1【解析】如图，设am 二 5 AB，AN 二 5AC，则 A

12、P二AM+ AN.D -3由平行四边形法则知NP / AB，所以器=同理可得AABQ二-.故AABp = 4，选B.AABC 4AABQ 5ANAC第 11 题图12.如图，用与底面成30。角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的 离心率为D非上述结论第 12 题图 【解析】用平面截圆柱， 截线椭圆的短轴长为圆柱截面圆的直径， 弄清了这一概念，1考虑椭圆所在平面与底面成30。角，则离心率e二sin30=.故选A.2二、填空题:本大题共4小题， 每小题4分， 共16分. 把答案填在题中横线上.13. 一平面截球面产生的截面形状是 ;它截圆柱面所产生的截面形状是【解析】圆;圆或椭圆.BC第14 题图

13、14.如图，在ABC 中,AB=AC, ZC=720, O 过 A、B 两点且 与BC相切于点B，与AC交于点D，连结BD，若BC=、巧-1， 则 AC=【解析】由已知得BD 二 AD 二 BC, BC2 二 CD- AC 二(AC-BC)Q4C,解得AC二2 .15. 如图，AB为口 O的直径，弦AC、BD交于点p ,若 AB 二 3,CD 二 1,贝0 sin ZAPD =_AD【解析】连结AD，则sinZAPD二，又ACDP ABAP ,APPD cd 1第15题图从而 cos ZAPD=-,PA BA 3所以 sin ZAPD = 1-（1）2 =.16. 如图为一物体的轴截面图,则图

14、中R的值是第 16 题图30【解析】由图可得R2二（）2 + （180-135 - R）2,解得R二25 .2三、解答题:本大题共6小题,共74分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤.17. （ 本小题满分 12 分 ）如图：EB,EC是 O的两条切线，B,C是切点，A,D是 O上两点，如果ZE = 46。,ZDCF = 32。，试求ZA的度数.【解析】连结OB,OC, AC，根据弦切角定理,可得1ZA = ZBAC + ZCAD =（180。 ZE） + ZDCF = 67。+ 32。=99。18. （ 本小题满分 12 分 ）如图，。O的直径AB的延长线与弦CD的延长线相交于点P ,

15、 E 为 00 上一点，Ae = Ac , DE 交 AB 于点 F，且 AB = 2BP = 4 , 求 PF 的长度.0第17题图【解析】连结OCQDQE,由同弧对应的圆周角与圆心角之间的关系第18题图结合题中条件 Ae = Ac 可得 zcde = zaoc ,又 zcde= zp+zpfd,PF PDZAOC =ZP+ZC,从而ZPFD=ZC,故 APFD APCO，: =工, PC PO由割线定理知PCPD= PAPB =12,故PF =卩卩。=12 = 3.PO 419. （本小题满分 12 分） 已知:如右图，在等腰梯形ABCD中,ADBC,AB=DC,过点D作AC的平行线DE,交BA的延长线于 点 E.求证：（l）AABC空 ADCB （2）DE DC=AE BD.【解析】证明：（1） J四边形ABCD是等腰梯