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1、高中数学“概率”教学研究一、整体把握高中“概率”教学内容随机现象在日常生活中随处可见，概率是研究随机现象规律的学科，它为人们认识客观世界提供了重要的思维模式和解决问题的方法，同时为统计学的发展提供了理论基础因此，统计与概率的基础知识已经成为一个未来公民的必备常识高中数学“概率”位于必修三和选修2-3（理科限选）主要知识如下：（一）概率知识结构图课标要求：必修三：（1）在具体情境中，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，进一步了解概率的意义以及频率与概率的区别（2）通过实例，了解两个互斥事件的概率加法公式（3）通过实例，理解古典概型及其概率计算公式，会用列举法计算一些随机事件所含的基本事件数
2、及事件发生的概率（4）了解随机数的意义，能运用模拟方法（包括计算器产生随机数来进行模拟）估计概率，初步体会几何概型的意义（5）通过阅读材料，了解人类认识随机现象的过程选修2-3（1）在对具体问题的分析中，理解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，认识分布列对于刻画随机现象的重要性（2）通过实例（如彩票抽奖），理解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用（3）在具体情境中，了解条件概率和两个事件相互独立的概念，理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题（4）通过实例，理解取有限值的离散型随机变量均值、方差的概念，能计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问
3、题（5）通过实际问题，借助直观（如实际问题的直方图），认识正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义（二）重点难点分析必修三概率部分：概率教学的核心问题是让学生了解随机现象与概率的意义高中“概率”，是在义务教育阶段的基础上，学习概率的某些基本性质和简单的概率模型，加深对随机现象的理解，并学习用随机模拟的方法估计简单随机事件发生的概率选修2-3（理科限选）部分：主要内容是离散型随机变量的分布列研究一个随机现象，就是要了解它所有可能出现的结果和每一个结果出现的概率，分布列正是描述了离散型随机变量取值的概率规律，二项分布和超几何分布是两个应用广泛的概率模型结合课标要求，可得如下教学的重点和难点：重点：从思
4、想方法的角度：重点是对随机现象的理解，了解随机事件发生的不确定性和频率的稳定性，从而正确理解概率的意义；从知识技能的角度：一是概率的统计定义；二是古典概型以及概率的加法公式；三是离散型随机变量的分布列，以及随机变量的数字特征期望、方差具体地说：二项分布（期望、方差）和超几何分布（期望）难点：正确理解概率的意义；几何概型；条件概率；二、高中“概率”教与学的策略（一）“概率的定义”的教学策略学生在义务教育阶段已经学习过概率，（1）知道随机现象结果发生的可能性是有大小的，能对一些简单的随机现象发生的可能性大小作出定性描述（2）能列出随机现象所有可能的结果，以及指定事件发生的所有可能结果，了解事件发生
5、的概率（3）知道通过大量地重复试验，可以用频率来估计概率那么，学生在高中学习概率定义，与义务教育阶段的学习有何区别？重点应该强调的是什么？主要有两点：（1）加强对随机现象的认识，（2）将“通过大量地重复试验，用频率来估计概率”这种直观地感性认识逐步提升到理论的层面，学习“概率的统计定义”如何做到这些呢？老师首先需要提升认识：历史上，概率源于赌博博弈的形式多种多样，但是它们的前提是“公平”，即“机会均等”，而这正是古典定义适用的重要条件：同等可能16世纪意大利数学家和赌博家卡尔丹（15011576）所说的“诚实的骰子”，即道明了这一点在卡尔丹以后约三百年的时间里，帕斯卡、费马、伯努利等数学家都在
6、古典概率的计算、公式推导和扩大应用等方面做了重要的工作直到1812年，法国数学家拉普拉斯（17491827）在概率的分析理论中给出概率的古典定义：事件A的概率等于一次试验中有利于事件A的可能结果数与该事件中所有可能结果数之比古典定义适用的条件有二：（1）可能结果总数有限；（2）每个结果的出现有同等可能其中第（2）条尤其重要，它是古典概率思想产生的前提这就使得古典定义的方法能应用的范围很窄，同时还有一些数学上的问题（贝特朗悖论）1919年，德国数学家冯.米塞斯（18831953）在概率论基础研究一书中提出了概率的统计定义：在做大量重复试验时，随着试验次数n的增加，某个事件出现的频率m/n总是在一
7、个固定数值p的附近摆动，显示出一定的稳定性，把这个固定的数值p定义为这一事件的概率虽然统计定义不能像古典定义那样确切地算出概率，但是却给出了一个估计概率的方法而且，它不再需要“等可能”的条件，因此，从应用的角度来讲，它的适用范围更广但是从数学理论上讲，统计定义仍然是有问题的有循环定义之嫌因为定义中出现了可能性这指的就是概率（类似地在古典概率定义中通常出现等可能性）你可以设法避免这类词出现，但其本质的意义无法避免事实上，概率的统计定义的数学描述是（弱）贝努里大数律（老师们在大学都学过）：它说的是：当试验次数时，一个事件发生的频率与某个常数p的偏差大于任一个正常数的可能性趋于零之所以不能用这个式子
8、中的常数p作为概率的定义，是因为在这个式子中已经有了概率也就是说：概率的概念笼统说并不难，但若深入到理论或哲学中去讨论，问题就有一大堆在数学上，概率的概念是用公理化的形式定义的即使是大学数学系的学生，由于他们大都不学测度论，也无法完整地理解这种公理体系的意义概率的古典定义、统计定义有其时代背景和现实意义，不能因噎废食这里希望教师了解的是，在各种教科书中出现的概率统计定义,古典概率定义,几何概率定义都是一些描述性的说法，教师不应该过分地去揣摩，探究那里的用语，而应理解其实质那么，我们在中学的教学中，应该如何把握概率的概念呢？“理解其实质”是指什么呢？我想主要应该理解以下几点：1“重复试验”“重复
9、试验”是指条件相同下的试验，严格说在现实中两次试验条件完全相同是不可能的，这里给出的是数学模型至于现实中哪些问题能用这个数学模型来近似描述，这是另一个问题2频率和概率的关系频率反映了事件发生频繁的程度，从而可以用来度量事件发生的可能性大小但频率是随机的，是这n次试验中的频率换另外n次试验，一般说，频率将不同，而概率是一个客观存在的常数因此，人们用概率来度量事件发生的可能性不过，在现实中，概率往往是不知道的，通常用频率来估计概率恰如在现实中，一根木棒的长度是一个客观的常数，但其值是未知的，我们是用测量值来估计其长度，不论仪器多么精确，测得的数值都会有误差（即测量值是随机的），但总是稳定在木棒的真
10、实长度值的附近3概率反映的是多次试验中频率的稳定性有人往往错误地以为，掷一个均匀硬币，正面出现的概率等于二分之一，就应该两次试验中出现一次正面掷一个均匀骰子，每掷六次，各点都应该出现一次否则就是不均匀事实上，频率的稳定性反映的是大量试验中出现的性质，其稳定性要在试验次数很多时才体现出来对个别的几次试验，由于其随机性，是无法预料的4随着试验次数的增加，频率趋于概率？请正确理解与的区别正确的应该是：即使n非常大，出现频率偏离概率较大的情形也是可能的，这是随机现象的特性在概率的教学中，对一些学生容易产生误解的地方，有人建议用试验的办法帮助学生理解，这当然是很好的例如，在讨论抽签与抽取顺序无关时，就可
11、以用试验来模拟但必须注意到频率偏离概率大的情形例如,扔一百个均匀硬币，一面出现30个，另一面出现70个，是不奇怪的对此教师应有充分的认识5结果的随机性不同于结果未知比如，至今人们还不知道哥德巴赫猜想是否成立，但这个命题没有任何随机性6用频率估计概率，一定要大量试验？实验次数多少合适？狄莫弗-拉普拉斯极限定理给出了解答：（*）其中，为标准正态分布的分布函数例如掷硬币的问题，若要保证有95%的把握使正面向上的频率与其概率0.5之差落在0.1的范围内，那要抛掷多少次？根据（*）式，可以估计出有人认为概率的统计定义没什么可讲的，学生有生活经验，很容易理解从某一方面看，确实如此学生不难理解掷均匀硬币时，
12、出现正面的可能性是二分之一；掷均匀骰子时，出现各个点数的可能性都是六分之一，等等（不过，从历史上看，人们认识到这一点是经过了很长的一个时期的教科书上记载的那些历史上掷硬币的试验说明了这一点之所以会做这么多的试验，就是因为人们在过去认识不到这种频率的稳定性）根据以上分析，我们可以确定这一节课的教学策略：1）首先通过大量实例，体会随机事件发生的不确定性，归纳出随机事件的概念2）然后再深入情境，体会随机事件的规律性通过发现随机事件的发生既有随机性，又存在着统计规律性，认识概率的意义很自然地提出问题：如何把握规律？3）从已有的生活经验中提取信息，体会可以用(大量重复)试验的方法来估计概率紧紧抓住大量、
13、重复这两个关键词，认识用大量重复试验的频率来估计事件的概率这种方法4）通过数学实验，观察频率，再次体会随机性与规律性，形成概率的统计定义其中还可以结合历史上科学家们做抛掷硬币实验的例子，让学生在了解史实的同时，进一步体会大量重复试验的必要性（二）古典概型的教学需要明确的是古典概率是一类数学模型，并非是现实生活的确切描述扔一个硬币，可以看成只有两个结果：“正面向上”和“正面向下”每个结果出现的可能性相同，从而符合古典概率的模型但现实情况是，硬币可能卡在一个缝中，每一面既不向上也不向下另外, 硬币是否均匀，也只能是近似的同一个现实对象可以用不同的模型来描述例如物理上，地球有时被看成是一个质点(在研
14、究天体运动时)，有时被看成椭球(飞机的航程)，有时被看成平面(人在地面行走时)在这里同样如此同一个问题可以用不同的古典概率模型来解决在古典概率的问题中，关键是要给出正确的模型一题多解所体现的恰是多个模型下面举一个例子例1某人有6把钥匙，但忘记了打开房门的钥匙是哪一把于是，他逐把不重复地试开若6把中只有1把能打开房门，则（1）恰好第三次打开房门的概率是多少？（2）最多3次试开一定能打开房门的概率是多少？ 解法1：把6把钥匙分别编号，能打开房门的钥匙记为“k”把用6把钥匙逐把试开房门当作一次试验（即把6把钥匙全部试完，不论能否打开房门），于是每个基本事件就相当于6把钥匙的一个全排列，所有基本事件的
15、个数为这些结果是等可能的恰好第三次打开房门，即“k”排在第3位上，共有种结果，故“恰好第三次打开房门（设为事件A）”的概率为最多3次试开一定能打开房门，即“k”排在前3位上，共有种结果，故“最多3次试开一定能打开房门（设为事件B）”的概率为解法2：由于本题中讨论的是恰好第三次打开房门的概率，所以，我们可以着眼于前三次，把“从6把钥匙中选出3把，逐把试开房门”当作一次试验于是，所有基本事件的个数为这些结果是等可能的（1）； （2）解法3：还可以着眼于k的位置把“用6把钥匙逐把试开房门”当作一次试验（即把6把钥匙全部试完，不论能否打开房门），但只考虑第几次能打开房门，也就是考虑k排在第几位，这样，就只有6个基本事件（1）； （2）解法4： 仍把钥匙如前编号我们只关注第三次（前三次）取到的钥匙第三次取到的钥匙显然是这6把钥匙之一，即，有6种结果且每个结果出现的可能性都是相同的当第三次取到“k” 时，第三次恰好打开房门因此，“恰好第三次打开房门”的概率为；最多3次试开一定能打开房门的概率为我们希望通过这样的例子让学生很好地体会概率的古典模型、体会概率模
