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1、潮汐现象的力学分析地球上的海洋周期性的涨落称为海洋潮汐。我国自古有“昼涨称潮，夜涨称汐”的说法川。在公元前2世纪已记载月 望（满月）之日可以看到十分壮观的海潮（枚乘：七发140 B.C），东汉王充在论衡中已写道“涛之起也，随月盛 衰，大小，满损不齐同”指出潮汐与月球的关系，其后更有余靖、张君房、燕肃、沈括、郭守敬等人对潮汐观测得到相当 精确的结果，李约毫（Joseph Needham.1900-1995 ）曾说：“近代以前，中国对潮汐现象的了解与兴趣总的来说是 多余欧洲的。古人称白天为“朝”，晚上为“夕”，所以以海洋潮汐为例，白天海水上涨为“潮”，晚上海水上涨为“汐”。潮汐 现象是一种普遍的自
2、然现象。有资料称：“地球上海洋的周期性涨落称为潮汐”.并解释说是“一昼夜中两次潮水涨起， 随之有两次跌落”。这一注解容易使人误认为海水的潮汐就是一昼夜的两涨两落现象。事实上潮汐有多种，就海洋潮汐而 言，就有根据太阳、月亮、地球排列位置分的“大潮”和“小潮”；K艮据月球与地球距离分的“近地潮”和“远地潮”； 根据引潮力方向分“顺潮”和“对潮”等。以一昼夜高、低潮 出现的次数不同又可分为以下几类：半日潮：是指一昼夜内出现两次高潮和两次低潮。全日潮：是指一昼夜内只有一次高潮和一次低潮。混合潮：是指一个月内有些日子出现两次高潮和两次低潮.有些日子出现一次高潮和一次低潮。所以潮汐现象不仅仅是一昼夜中海水
3、的两涨两落现象。下面以海水的半日潮为例分析其形成过程及物理本质。1潮汐现象的力学分析1.1引潮力产生的分析月球对海水的引力是造成潮汐的主要原因，太阳的引力也起一定的作用。潮汐现象的特点（半日潮）是每昼夜有两次高 潮。所以，在同一时刻，围绕地球的海平面总有两个突起部分，在理想的情况下它们分别出现在地表离月球最近和最远的地 方。如果仅把潮汐看成是月球引力造成的，那么在离月球最近的地方海水隆起，是可以理解的。为什么离月球最远的地方海 水也隆起呢？如果说潮汐是万有引力引起的，潮汐力在大小就应该与质量成正比，与距离平方成反比。太阳的质虽比月球大 2.7x107倍，而太阳到地球距离的平方只比月球的大1.5
4、x105倍，两者相除，似乎太阳对海水的引力比月球还应该大180倍，为什么实际上月球对潮汐起主要作用？大家都知道，太空工作站上的宇航员是漂浮在空中的，因为他处在失重状态，原因就是他 受到的重力和惯性力“精确”抵消，从广义相对论的观点看，牛 顿力学所谓“真实的引力”和 “因加速度产生的惯性力”是等价的，实际中无法区分。但这种等价性在大尺度范围内就不再 是“精确的” 了，如果那个“太空工作 站”足够大，当其中引力场的不均匀性不能忽略时，惯 性力就不能把引力完全抵消了。如图1示，设想在太空工作站内有5个质点，C在中央.即系统 的质心上，A和B分别在C的左右，。和已分别在C的上下。考虑到引力是遵从平方反
5、比律且 指向地心的， 与中央质点C所受的引力相比，A和B受到的引力略向中间偏斜，。因离地心 稍远而受力稍小，E因离地心稍近而受力稍 大。由于整个参考系是以质心C的加速度运动的，其中的惯性力只把C点所受的引力精确抵消，它 与其他各质点所受的引力叠加，都剩下一点残余的力。如果太空工作站的空间非常大时，那么这种 偏差就会更明显，它们这时所受力的方向如图2所示，A和B受到的残余力指向C、D和E受到的 残余力背离C ,所以，如果在中央C处有个较大的水珠的话，严格地说它也不是球形，而是沿上下拉长了椭球。把地球当做一个对象，其中引力不均匀性造成的应是很大的。地球表面70 %的面积为海水所覆 盖，地球自转造成
6、的惯 性离心力已计算在海水的视重里，所以我们可以取地心作为参考系，不必考虑地球的自转，这样一来，就可以把它看成是由 海水形成的一个巨大的水滴。如果没有外部引力的不均匀性，这个大水滴将精确地呈球形。现在考虑月球引力的影响。如图 3所示，在地心参考系中各地海 水所受月球的有效引力是“真实的引力和地心的离心加速度造成的“惯性离心力”之和。 这有效引力的分 布就像图4所示那样，把海水沿地月联线方向拉长为一个椭球。这就是为什么在地球相对位置会同时 出 现潮汐，使得每天有两次潮，而不是一次的原因。1.2引潮力的计算现在让我们来看看地-月引潮力的大小，在图3中C和C ,分别是地球和月球的质心,O是它们共同的
7、质心，P点是质量为Am的海水，地月质心之间的距离Id = P| ,地面上一点到月球质心的距离，地 面上一点到地心的距离网=莎|。Am的海水受月球的吸引力为了二”2 y ”3,叱(i-2-i )任何质心在地心参考系内所受的惯性力，等于把它放在地心处所受引力的负值，因此地球上所有物体 受到的惯性力为(122 )/和焉合成为引力几(1-2-3 )/ =1 r-/? 1= ylr2 + R2-2rRcos0 故由图可以看出:/ ：-，LJXLt(吕(1-2-4 )取直角坐标的X轴沿cc，y轴与之垂直，如图3所示，则(1-2-5 )(r= r-RcosO ,(月R) =-Rsin81 -cosA匚12R
8、 a R2八 o(1cosG + r-)-rr1 兰 COS0 +竺 COS&-11 rr2G4帆Rcos。(1-2-6 )GSinM(/潮)y = 7? sin(1-2-7 )在以上两式中/?实为地球的半径&,实为地月距离几，归纳以上结果，我们得到引潮力公式的分量形式如下/、 2GSmM心广cose(1-2-8 )(/潮),=-学sine(129 )引潮力在地表上的分布如图4，在&=0和龙处（即离月球最近和最远处）是背离地心的，在这些地方形成海水的高峰；在=2处指向地心，形成海水低谷。随着地球的自转，一昼夜之间有两个高峰和两个低谷扫过每个地方，形成两次高潮和两次低潮。上式同样也适用于太阳，只
9、是其中的M九和匚应分别代之以太阳的质星和日地距离z;,经替代后可得/ 。 、 2GSM、倡）广严(1-2-10 )优广.3sm 0(1-2-11 )通过上述推导表明引潮力与质量成正比，与距离的立方成反比，故月潮和日潮大小之比为(Al) ”心)=伊 +7.35x1 ()22 检(1.50x10 映l 99xl0kgl 3.84x10虹=2.20这个结果说明，尽管地球上太阳的引力比月球的大180多倍，但月球对地球上潮汐的效应约为太阳的 两倍，这就解释了为什么月球而不是太阳对潮汐起着 主要作用。其原因也可以认为是：潮汐力与引力场的梯度有关，月球离地球近，它的场横过地球的变化相当大，而对相距甚远的太阳
10、的场则近乎不变（变化小 的多）。假如横过地球时场的变化为零,那么不管此图 5 (b)月球地球场多强，也不会产生潮汐现象。日月引潮力的效果是线性叠加的，合成的结果与日、月的相对方位有关。在朔日和望日，月球、太阳和地球几乎在同 一直线上（如图5a），太阴潮和太阳潮彼此相加，就形成每月的两次大潮。上弦月 和下弦月时月球和太阳的黄经相距90（如图5b），太阴潮被太阳潮抵消了一部分，就形成每月里的小 潮叫1.3潮汐涨落公式的推导通过上面的力学推导，我们知道在引潮力的作用下海平面可以周期性的涨落，那么海平面到底可以升高多少呢？我们可以利用牛顿力学来推导，也可以利用等势面的方法来推导。下面首先利用牛顿设计的
11、一种方法来计算潮汐涨落的高度。1.3.1牛顿推导何如图6所示，设想在地球内正和y方向分别挖一个竖井直达地心 相通。二井深度分 别为加和心，截面积为$，井内充满水。先计算井普中的水在地心处产生的压强竹。以。表示水的密度，视为常数。一段 内水的质屋为（加7=，它受地球的引力为dmg（r） = pg（Jd皿，其中g （r）是在r处的重力加速度。此处潮汐力可利用引潮力公式表示，只是用厂取代其中的R,。由此可得也一段水产生的压强炯=pg（r）drds_jG*j pdMs / 匕=P巩厂）(1-3-1 )将此式对整个井深倡积分，可得勺井底的压强Pir dr(1-3-2 )同样的道理得出心井底的压强P 3=
12、Pj；Lg( + r 竺厂 d(1-3-3 )在稳定情况下门二P 3 ,即+ %f g（J- 2GM：r dr=r g（crm移项可得f g （必t： g （iL弓倡+J:斗#rdr（1-3-4）此式在左侧积分可合并为fg （讪。由于勺和倡都和地球半径心相差不多，g（d就可取地球表面的重力加速度值（/）二卑。这样R ；一：g （讪=（S（&）=其中儿r=hf可视为潮高。上式右侧可取h= h. = Re而合并为由此可给出GMf 3GMi .而潮高（1-3-5 ）将M加=7.35x10% f rm =3.8xl05bn, Me =5.98x1024、=6.4x10叹加代入上式，可得到月球引起的潮汐
13、一一太阴潮之 高：/匕=0.56加上述分析同样可以用来分析太阳在地球上引起的潮汐一一太阳潮。与上式类似，太阳潮高为：(1-3-6 )将太阳的质量M、= 1.99x10 g，它到地心的距离/ = 1.5x10%“代入上式,可得A/七=0.25/n实际上潮高为久和乞r的矢量叠加。在朔日和望日月球、太阳和地球几乎在同一直线上，太阳潮和太阴潮相加形成大潮，高潮可达到0.81/no在上弦月或下弦月时,月球和地球的方位垂直，二者相消一部分,形成小 潮，潮高为0.31/7/0 （如图5 ）一个月内大潮和小潮个出现两次。和实际观测相比以上潮高的计算值偏小，该计算值约适 用于开扩的洋面。1.3.2利用等势面推导
14、海水受到来自月球的引潮力的作用，致使海水发生全球范围的大变化，破坏了原来的平衡状态，于是压强大的海水挤向压强小的海水，使的这部分海水凸出来了，直到海面的压强相等达到新的平衡为止，我们知道平衡液面是等势面，根据这一原理我们讨论潮汐的涨落的涨落公式。如图3,在地心参照系中，考察某点”处的海水，除了月球的引力势能叫及地球本身的引力势能匕外,因惯性力是恒 力，可以认为是关于位置的函数，故引入一个惯性场力的等势能。具体地说，首先月球对点引力的对应势为K=G +qR1- 2 cos0 +l rR2 +l 2-cosAR R?=_G沁1 + cosA + yA(3cos2 0-1)+q其次，地球对P点引力对
15、应的势能为匕虹，设/?二心+九其中力为P点到平均海平面的高度，尺为平均海平面到地心的距离，即地心半径。因为则 P点的引力势能匕可近似等于重力势能，即V2 = mgh + c2GSmMR7(1-3-8)最后，海平面上一点P受到惯性场力的对应等效势能匕为21匕=GMM小RCOS& + C3(1-3-9 )故当海面处于平衡状态时，根据平衡液面是等势面的理论有匕+V2+V=c (常数)(1-3-10 )R D21 + COS 0 + 7(3cos2 & -1) +c+塔叫+幺叫论+一 K ；r-G?2(3cos29-1)+ h = c，在上式中，可设R = Re，并令势能常数Cf = 0，因此利用（1-3-11 ）可以在勺，平面上描出一条闭合曲线，其形状正好是起潮时的海面的形状。将=1/81.& = 1/60. 0 = 0 或 90 代入上式可得/?=0
