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1、第37讲 直线与方程一、 考情分析1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素；2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式)，了解斜截式与一次函数的关系.二、 知识梳理1.直线的倾斜角(1)定义：x轴正向与直线向上的方向所成的角叫做这条直线的倾斜角，规定与x轴平行或重合的直线的倾斜角为零度角.(2)规定：当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0；(3)范围：直线的倾斜角的取值范围是0，).2.直线的斜率(1)定义：直线ykxb中的系数k叫做这条直线的斜率，垂直于x轴的直线
2、斜率不存在.(2)计算公式：若由A(x1，y1)，B(x2，y2)确定的直线不垂直于x轴，则k(x1x2).若直线的倾斜角为()，则ktan_.3.直线方程的五种形式名称几何条件方程适用条件斜截式纵截距、斜率ykxb与x轴不垂直的直线点斜式过一点、斜率yy0k(xx0)两点式过两点与两坐标轴均不垂直的直线截距式纵、横截距1不过原点且与两坐标轴均不垂直的直线一般式AxByC0(A2B20)所有直线微点提醒1.直线的斜率k和倾斜角之间的函数关系：2.求直线方程时要注意判断直线斜率是否存在；每条直线都有倾斜角，但不一定每条直线都存在斜率.3.截距为一个实数，既可以为正数，也可以为负数，还可以为0，这
3、是解题时容易忽略的一点.三、 经典例题考点一直线的倾斜角与斜率【例1】 (1)直线2xcos y30的倾斜角的取值范围是()A. B.C. D.(2)(一题多解)(经典母题)直线l过点P(1，0)，且与以A(2，1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为_.【答案】(1)B(2)(，1，)【解析】(1)直线2xcos y30的斜率k2cos ，因为，所以cos ，因此k2cos 1，.设直线的倾斜角为，则有tan 1，.又0，)，所以，即倾斜角的取值范围是.(2)法一设PA与PB的倾斜角分别为，直线PA的斜率是kAP1，直线PB的斜率是kBP，当直线l由PA变化到与y轴平行
4、的位置PC时，它的倾斜角由增至90，斜率的取值范围为1，).当直线l由PC变化到PB的位置时，它的倾斜角由90增至，斜率的变化范围是(，.故斜率的取值范围是(，1，).法二设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(k)0，即(k1)(k)0，解得k1或k.即直线l的斜率k的取值范围是(，1，).【迁移探究1】 若将例1(2)中P(1，0)改为P(1，0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围.【解析】设直线l的斜率为k，则直线l的方程为yk(x1)，即kxyk0.A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2
5、k1k)(k)0，即(3k1)(k)0，解得k.即直线l的斜率的取值范围是.【迁移探究2】 若将例1(2)中的B点坐标改为B(2，1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的取值范围.【解析】由例1(2)知直线l的方程kxyk0，A，B两点在直线l的两侧或其中一点在直线l上，(2k1k)(2k1k)0，即(k1)(k1)0，解得1k1.即直线l倾斜角的取值范围是.规律方法1.由直线倾斜角的取值范围求斜率的取值范围或由斜率的取值范围求直线倾斜角的取值范围时，常借助正切函数ytan x在0，)上的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在0，)上并不是单调的.2.过一定点作直线与已知线段相交，求直线斜率范围时
6、，应注意倾斜角为时，直线斜率不存在.考点二直线方程的求法【例2】 求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(4，1)，且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍；(3)经过点B(3，4)，且与两坐标轴围成一个等腰直角三角形.【解析】(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a0，即l过点(0，0)和(4，1)，所以l的方程为yx，即x4y0.若a0，则设l的方程为1，因为l过点(4，1)，所以1，所以a5，所以l的方程为xy50.综上可知，直线l的方程为x4y0或xy50.(2)由已知设直线y3x的倾斜角为，则所求直线的倾斜角为2.因为tan 3，所
7、以tan 2.又直线经过点A(1，3)，因此所求直线方程为y3(x1)，即3x4y150.(3)由题意可知，所求直线的斜率为1.又过点(3，4)，由点斜式得y4(x3).所求直线的方程为xy10或xy70.规律方法1.在求直线方程时，应选择适当的形式，并注意各种形式的适用条件.2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用(若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况；若采用截距式，应判断截距是否为零).考点三直线方程的综合应用角度1与不等式相结合的最值问题【例31】 设mR，过定点A的动直线xmy0和过定点B的动直线mxym30交于点P(x，y)，则|PA|PB|的最大值是_.【答案】5
8、【解析】由直线xmy0求得定点A(0，0)，直线mxym30，即y3m(x1)，所以得定点B(1，3).当m0时，两条动直线垂直，当m0时，因为m1，所以两条动直线也垂直，因为P为直线xmy0与mxym30的交点，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(当且仅当|PA|PB|时，等号成立)，所以|PA|PB|的最大值是5.角度2由直线方程求参数范围【例32】 已知直线l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，当0a2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，实数a_.【答案】【解析】由题意知直线l1，l2恒过定点P(2，2)，直线l1的纵截距
9、为2a，直线l2的横截距为a22，所以四边形的面积S2(2a)2(a22)a2a4，又0a2，所以当a时，面积最小.规律方法与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题.先设出直线方程，建立目标函数，再利用均值不等式求解最值.(2)求参数值或范围.注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或均值不等式求解. 方法技巧1、在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件.用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线.故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论
10、，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况.2、倾斜角和斜率的范围(1)倾斜角是一种特殊规定的角，其范围是0，)，千万不要与其他角混淆，有些时候要依据图形而定.(2)斜率范围与倾斜角范围的转化，此时要结合ytan x在和上的变化规律.四、 课时作业1已知直线l的斜率是1，且在y轴上的截距是，则直线l的方程是（ ）ABCD【答案】C【解析】解：直线的斜率为，且在轴上的截距为，所以直线的方程为2经过点、的直线的斜率等于1，则的值为A1B4C1或3D1或4【答案】A【解析】即得选A3直线的倾斜角为（ ）ABCD【答案】D【解析】解：设直线的倾斜角为直线的点斜式方程是，直线的斜率，故选
11、：4已知直线过点且与点，等距离，则直线的方程为（ ）ABC或D或【答案】D【解析】解析：设所求直线的方程为，即，由已知及点到直线的距离公式可得，解得或，即所求直线方程为或.5已知点与直线: ，则点关于直线的对称点坐标为（ ）ABCD【答案】A【解析】可以设对称点的坐标为，得到 6数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线己知的顶点，且，则的欧拉线方程为（ ）ABCD【答案】D【解析】因为，可得：的外心、重心、垂心都位于线段的垂直平分线上，则的中点为,所以的垂直平分线的方程为：，即.7已
12、知函数的图象恒过定，若点在直线上，其中，则的最小值为（ ）ABCD【答案】D【解析】，所以，函数的图象恒过定点，由于点在直线上，则，则，则，当且仅当时，等号成立，因此，的最小值为.8点A（1，3）关于直线ykxb对称的点是B（2，1），则直线ykxb在x轴上的截距是ABCD【答案】D9已知直线经过A(2，1)，B(1，m2)两点(mR)，那么直线l的倾斜角的取值范围是（ ）ABC D【答案】B【解析】直线的斜率，因为，所以，所以直线的倾斜角的取值范围是.10经过点且在两坐标轴上截距相等的直线是（ ）ABC或D或【答案】C【解析】当直线过原点时，斜率为1，由点斜式求得直线的方程是 y-1=x-1
13、，即y=x；当直线不过原点时，设直线的方程是：，把点M（1，1）代入方程得 a=2，直线的方程是 x+y=2综上，所求直线的方程为y=x或x+y=211已知点A(2, 3)，B(3, 2)，若直线l过点P(1, 1)且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）Ak2或kBk2CkDk2【答案】A【解析】因为，结合图象可知，当或时，则直线与线段相交，故选A12过，两点的直线的斜率是ABCD【答案】A【解析】因为直线过，两点，所以.13已知点，若，则直线AB的倾斜角的取值范围为（ ）ABCD【答案】B【解析】解：因为，所以，因为，所以，设倾斜角为，则，所以.14（多选题）若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程可能为（ ）ABCD【答案】ABC【解析】当直线经过原点时，斜率为，所求的直线方程为y=2x，即；当直线不过原点时，设所求的直线方程为xy=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为，或；综上知，所求的直线方程为、，或15（多选题）在下列四个命题中，错误的有（ ）
