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1、1 1 1 1 1 2 2 1 D E1 二次函数与几何综合二次函数与三角形综合【例 1】.（2012 武汉中考）如图 1，点 A 为抛物线 C ：y= x22 的顶点，点 B 的坐标为（1，0）直线 AB 交抛物线 C 于另一点 C（1）求点 C 的坐标；（2）如图 1，平行于 y 轴的直线 x=3 交直线 AB 于点 D，交抛物线 C 于点 E，平行于 y 轴 的直线 x=a 交直线 AB 于 F，交抛物线 C 于 G，若 FG：DE=4：3，求 a 的值； （3）如图 2，将抛物线 C 向下平移 m（m0）个单位得到抛物线 C ，且抛物线 C 的 顶点为点 P，交 x 轴于点 M，交射线
2、 BC 于点 NNQx 轴于点 Q，当 NP 平分MNQ 时，求 m 的值考点：二次函数综合题。解答：解：（1）当 x=0 时，y=2；A（0，2）设直线 AB 的解析式为 y=kx+b，则：，解得直线 AB 解析式为 y=2x2点 C 为直线 y=2x2 与抛物线 x22 的交点，则点 C 的横、纵坐标满足：，解得 、 （舍）点 C 的坐标为（4，6）（2）直线 x=3 分别交直线 AB 和抛物线 C 于 DE 两点y =4，y = ，DE= FG=DE=4：3，FG=2直线 x=a 分别交直线 AB 和抛物线 C 于 F、G 两点F G 3 2 1 2 y =2a2，y = a22FG=|
3、2a a2|=2，解得 ，a =22 （3）设直线 MN 交 y 轴于 T，过点 N 做 NHy 轴于点 H；设点 M 的坐标为（t，0），抛物线 C 的解析式为 y= x22m； 0= t22m，2m= t2y= x2 t2，点 P 坐标为（0， t 2）点 N 是直线 AB 与抛物线 x2 t2的交点，则点 N 的横、纵坐标满足：，解得 、 （舍） N（2t，22t）NQ=22t，MQ=22t，MQ=NQ，MNQ=45MOT、NHT 均为等腰直角三角形，MO=OT，HT=HNOT=4，NT= ，NH=PN 平分MNQ， PT=NT，t+ t2=（2t）， t =2，t =2（舍）t22m=
4、 t2= （2）2，m=2【 例 2 】 . （ 20 11 武 汉 中 考 ） 如 图 1 ， 抛 物 线 y= ax 2 +b x+3 经 过 A （ -3 ， 0 ）， B （ -1 ， 0 ） 两 点 .（ 1 ） 求 抛 物 线 的 解 析 式 ；（ 2 ）设 抛 物 线 的 顶 点 为 M ，直 线 y= - 2 x + 9 与 y 轴 交 于 点 C ，与 直 线 O M 交 于 点 D. 现 将 抛 物 线 平 移 ， 保 持 顶 点 在 直 线 OD 上 . 若 平 移 的 抛 物 线 与 射线 CD（ 含 端 点 C ）只 有 一 个 公 共 点 ，求 它 的 顶 点 横
5、坐 标 的 值 或 取 值 范 围 ；（ 3 ） 如 图 2 ， 将 抛 物 线 平 移 ， 当 顶 点 至 原 点 时 ， 过 Q （ 0 ， 3 ） 作 不 平行于 x 轴 的 直 线 交 抛 物 线 于 E ，F 两 点 . 问 在 y 轴 的 负 半 轴 上 是 否 存 在 点 P ，使 PE F 的 内 心 在 y 轴 上 . 若 存 在 ， 求 出 点 P 的 坐 标 ； 若 不 存 在 ， 请 说 明理 由 .2 2 2 1 3 1 b = 1 2 1 2 2 2 2Q A B x2 2 2 22 2 2 2 2 2E(m，-2 2 2 【例 3】. （2010 武汉中考）如图，
6、拋物线 y =ax -2ax+b 经过 A(-11，0)，C(2，32)两点，与 x 轴交于另一点 B；(1) 求此拋物线的解析式；(2) 若拋物线的顶点为 M，点 P 为线段 OB 上一动点(不与点 B 重合)，点 Q 在线段 MB 上 移动，且 MPQ=45，设线段 OP=x，MQ= y ，求 y 与 x 的函数关系式，并直接写22 2出自变量 x 的取值范围；(3) 在同一平面直角坐标系中，两条直线 x=m，x=n 分别与拋物线交于点E，G，与(2)中 的函数图像交于点 F，H。问四边形 EFHG 能否为平行四边形？若能，求m，n 之间的 数量关系；若不能，请说明理由。y25. 解：(1
7、) 拋物线 y =ax -2ax+b经过 A(-1，0)，a +2 a +b =0C(0， )两点， 3 ，a= -2 ， 2 23 1 3 b= ，拋物线的解析式为y = - x2+x+ 。AO PMQB x2 2 21 3(2) 作 MNAB，垂足为 N。由 y = - x +x+ 易得 M(1，2)，2 2yMN(1，0)，A(-1，0)，B(3，0)，AB=4，MN=BN=2，MB=2 2 ，MBN=45。根据勾股定理有 BM -BN =PM -PN 。(2 2 ) -2 =PM = -(1-x) j，又MPQ=45=MBP，O P NMPQMBP PM2=MQMB= y 2 2 k。
8、21 5 1 5由j、k得y = x -x+ 。0x3，y 与 x 的函数关系式为 y = x -x+ (0x3)。22 2 2 2(3) 四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是1 3m+n=2(0m2，且 m1)。点 E、G 是抛物线 y = - x2 +x+12 2分别与直线 x=m，x=n 的交点，点 E、G 坐标为1 3 1 3m +m+ )，G(n，- n +n+ )。同理，点 F、H 坐标2 2 2 21 5 1 5为 F(m， m2 -m+ )，H(n， n2-n+ )。yOF HE GxEF=2 2 2 21 m2 -m+5 -(-1 m2 +m+3 )=
9、m2 -2m+1，GH= 1 n2 -n+5 -(-1 n2+n+3 2 2 2 2 2 2 2 2)=n -2n+1。四边形 EFHG 是平行四边形，EF=GH。m2-2m+1=n2-2n+1，(m+n-2)(m-n)=0。由题意知 mn，m+n=2 (0m2，且 m1)。因此，四边形 EFHG 可以为平行四边形，m、n 之间的数量关系是 m+n=2 (0m2，且 m1)。C 2 【例 4】.（2009 武汉中考）如图，抛物线y =ax2+bx -4a经过A( -1，0)、C (0，4)两点，与x轴交于另一点B（1）求抛物线的解析式；（2）已知点D(m，m +1)在第一象限的抛物线上，求点
10、D 关于直线 BC 对称的点的坐标；（3 ）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 坐标DBP =45，求点 P 的 y25解：（1）Q抛物线y =ax 2 +bx -4a经过A(-1，0)，C (0，4)两点，a -b -4a =0， -4a=4.解得a =-1， b =3.AOBx抛物线的解析式为y =-x2+3x +4（2）Q点D(m，m +1)在抛物线上，m +1 =-m +3m +4，y即m2 -2m -3 =0，m =-1或m =3Q 点 D 在第一象限，点 D 的坐标为 (3，CD4)由（1）知OA =OB，CBA =45设点 D 关于直线 BC 的对称点为点
11、 E Q C (0，4) ，CD AB ，且 CD =3 ，AEOBxECB =DCB =45， E点在y轴上，且CE =CD =3 OE =1 ， E (0，1)y即点D关于直线BC对称的点的坐标为（0，1）（3）方法一：作 PF AB 于 F ， DE BC 于 E 由（1）有： OB =OC =4，OBC =45， Q DBP =45，CBD =PBACPEDQ C (0，4)，D (3，4)，CD OB且CD =3DCE =CBO =45，3 2 DE =CE =2AF OBx 3 122 y 1 2 QOB =OC =4 ， BC =4 2 ， BE =BC -CE =5 22，tan PBF =tan CBD =DE=3BE 5设PF =3t，则BF =5t ，OF =5t -4， P ( -5t +4，3t)Q P点在抛物线上， 3t =-(-5t +4)2 +3(-5t +4) +4，t =0（舍去）或t =22， P -2 6625 ， 5 25方法二：过点D作BD的垂线交直线PB于点Q，过点D作DH x轴于H过Q点作QG DH于GyQ PBD =45，QD=DBQDG +BDH =90，QC
