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1、第1讲 牛吃草问题（一）班级 姓名 【知识要点】牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不同而不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本关系式，分别是：设定一头牛一天吃草量为“1”1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）；2）原有草量（牛头数草的生长速度）吃的天数；3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）；4）牛头数
2、原有草量吃的天数草的生长速度。这四个公式是解决消长问题的基础。【典型例题】例1、一块牧场长满草，每天牧草都均匀生长.这片牧场可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天.问： 这块牧场可供25头牛吃多少天？解：设每头牛每天吃1份草（1）每天新长出的草有几份？（1020-1510）（20-10）=5份/天（2）原有的草量有几份？（10-5）20=100份或者（15-5）10=100份（3）每天25头牛中若有( 5 )头牛去吃新生草，其它牛吃原来的草，全部牧草可吃几天。100（25-5）=5天例2、林子里猴子喜欢吃野果，23只猴子可在9周内吃光林子里的野果，21只猴子可在12周内吃光，问如果有33只
3、猴子一起吃，则几周后猴子就要开始饿肚子了？（假定野果生长的速度不变）解：假设一只猴子一周吃一份野果野果的生长速度：（2112-239）（12-9）=15份/周林子里的原有野果量：（23-15）9=72份或者（21-15）12=72份72（33-15）=4周例3、现欲将一池塘水全部抽干，但同时有水匀速流入池塘。若用8台抽水机10天可以抽干；用6台抽水机20天能抽干。问：若要5天抽干水，需多少台同样的抽水机来抽水？解：设1台抽水机1天的抽水量为1单位，则池塘每天的进水速度为：（620-810）（20-10）=4单位，池塘中原有水量：620-420=40单位。若要5天内抽干水，需要抽水机405+4=
4、12台。例4、一块牧草，每天匀速生长，现在这块草可供12头牛吃20天，或者可供60头羊吃15天。如果4只羊的每天吃的草只够一头牛吃一天，那么8头牛和40只羊一起吃可以吃多少天？解：设一头羊每天吃1份草草的生长速度为：（12420-6015）（20-15）=12份/天原有草量：（60-12）15=720份720（84+40-12）=12天例5、假设地球上每年新生成的资源的量是一定的，据测算，地球上的全部资源可供110亿人生活90年而耗尽，或者可供90亿人生活210年而耗尽。世界总人口必须控制在几亿以内，才能保证地球上的资源足以使人类不断繁衍下去？解：假设地球上每年新生1份资源资源新生速度：（90
5、210-11090）（210-90）=75份也就是控制在75亿以内，每年新增的用完，原有的不动，永远用不完。例6、有一牧场上长满牧草，每天牧草匀速生长，17头牛30天可将草吃完，19头牛则要24天可将草吃完。现有若干头牛吃了6天后卖掉了4头牛，余下的牛再吃2天便将草吃完，问原来有牛多少头？ 解：草的生长速度：（1730-1924）（30-24）=9份/天原有草量：（17-9）30=240份假设那4头牛没有卖掉，那么2天可以吃8份，只要在总量里面加上这8份，我们就可以当作没卖掉做，从头到尾都是若干只在吃，吃了6+2=8天：（240+24）（6+2）+9=头【课后分层练习】【池中戏水】1陕北某村有
6、一块草场，假设每天草都均匀生长。这片草场经过测算可供100只羊吃200天，或可供150只羊吃100天。问：如果放牧250只羊可以吃多少天？放牧这么多羊对吗？为防止草场沙化，这片草场最多可以放牧多少只羊？解：（100200-150100）（200-100）=50只25050，过度放牧，不对。原有草量：（100-50）200=10000份10000（250-50）=50天2、草场有一片均匀生长的草地，每天草都在匀速生长，可供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可供21头牛吃几周?解：草的增长速度：（239-276）3=15份/周原有草量：（27-15）6=72份72（21-15）=12周3、
7、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如5人淘水8小时淘完.如果要求2小时淘完，要安排多少人淘水？解：设每人每小时的淘水量为“1个单位”，则船内原有水量与3小时内漏水总量之和为：131030单位，船内原有水量与8小时漏水量之和为158=40单位，说明8-3=5小时进水40-30=10单位，即进水速度为每小时105=2单位，而发现漏水时，船内已有3023=24单位的水了。若要求2小时内淘完，需安排（24+22）2=14人。4、有一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放24头牛，则6天吃完草；如果放21头牛，则8天吃完草。要使草永远吃不完，至多放几头牛？解：（
8、218-246）（8-6）=12头5、有一片牧草，每天以均匀的速度生长，现在派17人去割草，30天才能把草割完，如果派19人去割草，则24天就能割完。如果需要6天割完，需要派多少人去割草？ 解：草增速:（1730-1924）（30-24）=9份/天原有草量：（17-9）30=240份2406+9=49人【江中畅游】1、一块牧草，每天匀速生长，现在这块草可供10头大牛吃12天，或者可供8头大牛和8头小牛吃8天。如果2头小牛的每天吃的草只够一头大牛吃一天，那么10头大牛和8头小牛一起吃可以吃多少天？草增速:【10212-（82+8）8】（12-8）=12份/天原有草量：（102-12）12=96份
9、96（102+8-12）=6天2、某车站在检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。从开始检票到等候检票的队伍消失，同时开4个检票口需30分钟，同时开5个检票口需20分钟。如果同时打开7个检票口，那么需多少分钟？解：等候检票的旅客人数在变化，“旅客”相当于“草”，“检票口”相当于“牛”，可以用牛吃草问题的解法求解。设1个检票口1分钟检票的人数为1份。因为4个检票口30分钟通过（430）份，5个检票口20分钟通过（520）份，说明在（30-20）分钟内新来旅客（430-520）份，所以每分钟新来旅客（430-520）（30-20）=2（份）。假设让2个检票口专门通过新来的旅客，两相抵消
10、，其余的检票口通过原来的旅客，可以求出原有旅客为（4-2）30=60（份）或（5-2）20=60（份）。同时打开7个检票口时，让2个检票口专门通过新来的旅客，其余的检票口通过原来的旅客，需要60（7-2）=12（分）。3、某海港货场不断有外洋轮船卸下货来，又不断用汽车将货物运走。如果用9辆车，12小时可以清场；如果用8辆车，16小时可以清场。该货场开始只用3辆车，10小时后增加了若干辆车，再过4小时就已清场，那么后来增加的车数应是多少辆？解：假设一辆车1小时可以清1份货物货物的增长速度：（816-912）（16-12）=5份/小时原有货物：（9-5）12=48份3辆车运十小时后剩余货物量越来越
11、多有：48+（5-3）10=68份68份货物4小时清完需要：684+5=22辆22-3=19辆【海中冲浪】1、一口水井装的水，在无渗水情况下，用甲抽水机20小时抽完，用乙抽水机抽30小时可抽完。现用甲、乙两台抽水机合抽，由于有渗水，结果15小时才抽完。在有渗水的情况下，由甲抽水机单独抽，多少小时抽完？解：假设原来有水60份甲抽水机：6020=3份/小时乙抽水机：6030=2份/小时渗水速度：【15（2+3）-60】15=1份/小时60（3-1）=30小时2、一牧场上的草每天都均匀生长。这片草可供16头牛吃60天，或者可供18头牛吃50天。如果将这片草全部割下制成干草以备冬天的草料，但制成干草后使用要比直接使用青草损失的质量。那么，由这些割下来的草所制成的干草可供25头牛吃多少天？解：草增速:（1660-1850）（60-50）=6份/天原有草量：（16-6）60=600份600（1-）25=20天
