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1、2023-2024学年广东省江门市新会一中高一（下）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i2的共轭复数是()A. 2+iB. 2iC. 2+iD. 2i2.已知函数f(x)=sin(2x5)，则()A. (320,720)上单调递增B. (15,310)上单调递增C. (310,45)上单调递减D. (320,1320)上单调递增3.底面积为2，侧面积为6的圆锥的体积是()A. 8B. 83C. 2D. 434.南水北调工程缓解了北方一些地区水资源短缺问题，其中一部分水蓄入某水库已知该水库水位为海拔148.5m时
2、，相应水面的面积为140.0km2；水位为海拔157.5m时，相应水面的面积为180.0km2.将该水库在这两个水位间的形状看作一个棱台，则该水库水位从海拔148.5m上升到157.5m时，增加的水量约为( 72.65)()A. 1.0109m3B. 1.2109m3C. 1.4109m3D. 1.6109m35.设向量a=(x+1,x),b=(x,2)，则()A. “x=3”是“ab”的必要条件B. “x=3”是“a/b”的必要条件C. “x=0”是“ab”的充分条件D. “x=1+ 3”是“a/b”的充分条件6.已知e1，e2是夹角为60的两个单位向量，则a=2e1+e2与b=3e1+2e
3、2的夹角是()A. 30B. 60C. 120D. 1507.已知ABC的外接圆圆心O，且2AO=AB+AC，|OA|=|AB|，则向量BA在向量BC上的投影向量为()A. 14BCB. 34BCC. 14BCD. 34BC8.当x0,2时，曲线y=sinx与y=2sin(3x6)的交点个数为()A. 3B. 4C. 6D. 8二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.已知复数z=m21+(m+1)i(mR)，则下列命题正确的是()A. 若z为纯虚数，则m=1B. 若z为实数，则z=0C. 若z在复平面内对应的点在直线y=2x上，则m=1D. z在复平面
4、内对应的点不可能在第三象限10.设a，b是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的有()A. 若a/，b/，则a/bB. 若a，b，则a/bC. 若a/b，b/，a，则a/D. 若a/，/，a，则a/11.“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等，如图，已知圆O的半径2，点P是圆O内的定点，且OP= 2，弦AC，BD均过点P，则下列说法正确的是()A. PAPC为定值B. 当ACBD时，ABCD为定值C. 当ABC=3时，ABC面积的最大值为 32D. OAOC的取值范围是4,0三、填空题：本
5、题共3小题，每小题5分，共15分。12.已知平面截球O的球面所得圆的面积为，O到的距离为3，则球O的表面积为_13.在ABC中，已知tanA，tanB是关于x的方程x2+m(x+1)+1=0的两个实根，则C=14.如图，在ABC中，点O是BC的中点过点O的直线分别交直线AB、AC于不同的两点M，N，若AB=mAM，AC=nAN，则m+n的值为_四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)已知函数f(x)=2sin2x4cos2x+1(1)求f(x)的最小正周期；(2)设g(x)=f(x2)，求g(x)在区间0,3的最大值与最小值16.(本小
6、题15分)记ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinA+ 3cosA=2(1)求A；(2)若a=2， 2bsinC=csin2B，求ABC周长17.(本小题15分)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，BC/AD，EF/AD，AD=4，AB=BC=EF=2，ED= 10,FB=2 3，M为AD的中点(1)证明：BM/平面CDE；(2)求点M到ABF的距离18.(本小题17分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，侧面PAD是正三角形，侧面PAD底面ABCD，M是PD的中点(1)求证：CD平面PAD；(2)求证：
7、AM平面PCD；(3)求侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值19.(本小题17分)如果函数y=f(x)的定义域为R，对于定义域内的任意x，存在实数a使得f(x+a)=f(x)成立，则称此函数具有“P(a)性质”(1)判断函数y=sinx是否具有“P(a)性质”，若具有“P(a)性质”求出所有a的值；若不具有“P(a)性质”，请说明理由(2)已知y=f(x)具有“P(0)性质”，且当x0时f(x)=(x+m)2，求y=f(x)在0,1上的最大值(3)设函数y=g(x)具有“P(1)性质”，且当12x12时，g(x)=|x|.若y=g(x)与y=mx交点个数为2023个，求m的值参考答案1C
8、2A3B4C5C6C7A8C9ABD10BCD11ABD1240133414215解：f(x)=2sin2x4cos2x+1=1cos2x2(1+cos2x)+1=3cos2x(1)f(x)的最小正周期T=22=；(2)g(x)=f(x2)=3cos(2x2)=3cosx，x0,3，3cosx3,32. 即g(x)在区间0,3的最大值为32，最小值为316解：(1)因为sinA+ 3cosA=2，所以2sin(A+3)=2，即sin(A+3)=1，由A为三角形内角得A+3=2，即A=6；(2)因为 2bsinc=csin2B， 2bsinC=2csinBcosB，由正弦定理可得： 2bc=2b
9、ccosB，可得cosB= 22，又因为B(0,)，所以B=4，C=AB=712，在ABC中，由正弦定理得asinA=bsinB=csinC=212=4，所以b=4sinB=2 2，c=4sinC=4sin712=4sin(4+3)= 6+ 2，所以ABC的周长为a+b+c=2+3 2+ 6综上，ABC的周长为2+3 2+ 617解：(1)证明：因为BC/AD，BC=2，AD=4，M为AD的中点，所以BC/MD，BC=MD，四边形BCDM为平行四边形，所以BM/CD，又因为BM平面CDE，CD平面CDE，所以BM/平面CDE；(2)如图所示，作BOAD交AD于O，连接OF，因为四边形ABCD为
10、等腰梯形，BC/AD，AD=4，AB=BC=2，所以CD=2，结合(1)BCDM为平行四边形，可得BM=CD=2，又AM=2，所以ABM为等边三角形，O为AM中点，所以OB= 3，又因为四边形ADEF为等腰梯形，M为AD中点，所以EF=MD，EF/MD，四边形EFMD为平行四边形，FM=ED=AF，所以AFM为等腰三角形，ABM与AFM底边上中点O重合，OFAM，OF= AF2AO2=3，因为OB2+OF2=BF2，所以OBOF，所以OB，OD，OF互相垂直，由等体积法可得VMABF=VFABM，VFABM=13SABMFO=13 34223= 3，cosFAB=FA2+AB2FB22FAAB
11、=( 10)2+22(2 3)22 102=12 10,sinFAB= 392 10，SFAB=12FAABsinFAB=12 102 392 10= 392，设点M到FAB的距离为d，则VMFAB=VFABM=13SFABd=13 392d= 32，解得d=3 1313，即点M到ABF的距离为3 131318解：(1)证明：在正方形ABCD中，CDAD，又侧面PAD底面ABCD，侧面PAD底面ABCD=AD，CD底面ABCD，所以CD平面PAD(2)证明：(证法一)因为CD平面PAD，AM平面PAD，所以CDAM， 因为PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AMPD，又CDPD=D，CD，P
12、D平面PCD，所以AM平面PCD，(证法二)因为CD平面PAD，又CD平面PCD，所以平面PCD平面PAD，因为PAD是正三角形，M是PD的中点，所以AMPD，又平面PCD交平面PAD于PD，AM平面PAD，故AM平面PCD(3)取AD，BC的中点分别为E，F，连接EF，PE，PF，则EF=CD，EF/CD，因为ADCD，所以EFAD，又在正PAD中，PEAD，因为EFPE=E，EF，PE平面PEF，所以AD平面PEF，因为正方形ABCD中，AD/BC，所以BC平面PEF，又EF、PF平面PCD，所以BCEF，BCPF，所以PFE是侧面PBC与底面ABCD所成二面角的平面角，因为CD平面PAD
13、，EF/CD，所以EF平面PAD，因为PE平面PAD，所以EFPE，设正方形ABCD的边长AD=2a，则EF=2a，PE= 3a，所以PF= PE2+EF2= 7a，所以cosPFE=EFPF=2 77，即侧面PBC与底面ABCD所成二面角的余弦值为2 7719解：(1)由sin(x+a)=sin(x)=sinx，所以a=2k+，kZ，所以函数y=sinx具有“P(a)性质”，其中a=2k+，kZ(2)因为y=f(x)具有“P(0)性质”，所以f(x)=f(x)，设x0，则x0，所以f(x)=f(x)=(x+m)2=(xm)2，当m0时，f(x)在0,1为增函数，所以最大值为f(1)=(1m)2；当0m12时，f(x)在0,m单调递减，在(m,1单调递增，且f(0)f(1)，所以最大值为f(1)=(1m)2；当12mf(1)，所以最大值为f(0)=m2；当m1时，f(x)在0,1为减函数，所以最大值为f(0)=m2；综上可知，当m12时，最大值为f(0)=m2；当m12时，最大值为f(1)=(1m)2(3)因为函数y=g(x)具有“P(1)性质”，所以g(1+x)=g(x)，g(1+x)=g(x)；所以g(x+2)=g(1+1+x)=g(1x)=g(x)，即g(x)是以2为周期的函数，又设12x32，则121x12，g(x)=g(x2)=g(
