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1、已知递推关系求数列通项的常见类型钟祥一中 陈国仿普通高中课程标准实验教科书数学（必修）第二章数列的考题B组题6：已知数列a n中，a 1=5，a 2=2，a n=2a n-1+3a n-2(n3)，对于这个数列的通项公式作一研究，能否写出它的通项公式？可以看到，新课程改革对递推数列的要求比旧教材更高，现将常见的由递推关系求数列通项的情形归纳如下：1、a n+1a nf (n)型当f (n)为常数时，即为等差数列；当f (n)不为常数时，这类数列，可考虑利用累加法.例1：已知数列a n中，a 1=1，且a n+1a n3 n，求数列a n的通项公式解：由于本例给出了数列a n中连续两项的差，故可
2、考虑用累加法求解a n（a na n-1）（a n-1a n-2）（a 3a 2）（a 2a 1）a 13n-13n-231练习1：已知数列a n中，a 12，a n1a nn2，求a n. 答：（）2、f (n)型当f (n)为非零常数时，即为等比数列，当f (n)不为常数时，这类数列，可考虑利用累乘或迭代法.例2：在数列a n中，已知，且a 11，求通项a n解：由于本例给出了连续两项的比，故可考虑用累乘法求解.a na 11n练习：已知，a 11，求数列a n的前n项和 答：先求得a n=，进而Sn3、a n1a n型对于形如a n1a n型所决定的数列a n的通项公式，我们可以设a n
3、1x=（a nx），从而构造一个数列a n+x，它是一个首项为a 1x，公比为的等比数列，从而得到数列a n的通项公式例3：已知a n1a n，且a 1，求数列a n的通项公式解：由于a n1a n 可变形为a n1（a n）故数列a n是以a 1为首项，为公比的等比数列a n（）n a n（）n 练习3：已知a 1，且3 a n1a n10，求数列的通项a n答：a n（）n-1+已知数列a n满足a 11，a n12 a n3，求a n答：a n2 n+134、a n1a nn型对于此种递推关系，可变形为a n1p(n+1)q（a npnq），使数列 a npnq为一个等比数列，从而求得数
4、列a n的通项公式例4：已知数列a n中，a n12 a n3n2，且a 11，求通项a n解：设a n1p(n+1)q2（a npnq），比较得，p=3，q=5从而有a n13（n+1）+52（a n3n5）所以 a n3n5是首项为a 1+3159，公比为2的等比等列a n3n592n-1 a n92n-13n5练习4：已知a n1 a n2n，a 12，求数列a n的通项a n及前n项和Sn答：a n（）n-13n2，Sn（）n已知a n13 a n4n4，且a 12，求通项a n答：a n73 n-12n35、a n1a npn型当1时，即为等差数列，当1时，对于此种递推关系，可两边同
5、除以n得到数列为等差数列例5：已知a n12 a n2n，且a 13，求通项a n解：由a n12 a n2n 可得1数列是首项为3，公差为1的等差数列3（n1）1n2 a n（n2）2n-1练习5：已知a n13an+3n，且a 12，求通项a n答：a n （n1）3n-16、a n1a nqn（q）型当1时，即为类型1，当1时，对于此种类型的递推关系，可变形为a n1pqn+1（a npqn）得到a npqn 为一等比数列例6：已知数列a n满足a n13a n2n，且a 1=1，求通项a n解：由于a n13a n2n可变形为a n12n+13（a n2n） a n2n 是首项为a 1
6、+2=3，公比为3的等比数列a n2n3n a n3n2n练习6：已知a n12 a n3n，且a 1=2，求通项a n答：a n3n2n1已知a n14 a n32n+1，a 1=1，求通项a n答：a n=74n-132n7、a a n型对于此种类型的递推关系，两边取对数，即化为类型例7：已知a 4a n，且a 1=1，求通项a n解：由a 4a n 两边取对数得2log a n1log a n2 log a n1log a n1从而可得log a n12(log a n2) log a n2是首项为2，公比为的等比数列log a n22（）n-1 a n2练习7：已知a 3a n，且a
7、19，求通项a n答：a n38、含a n1a n与a n1a n型对于形如a n的递推数列，总能取倒，化为类型3，进而求出通项a n例：已知3a n a n1a na n10，a 1，求通项a n解：由3a n a n1a na n10，得a n取倒得3 3是首项为2，公差为3的等差数列2（n1）33 n1 a n练习8：已知3a n a n1a na n10，a 1，求通项a n答：a n已知a n，a 12，求通项a n答：a n9、a n1型对于此种递推关系，当b=0时，此即类型8，当b0时，可两边同加上常数，化为类型8例9：数列 a n 中，已知a 74，且a n+1，求数列 a n
8、 的最小项与最大项解：设a n+1+=令，得=2 a n+12 = 等差=+（n7）（）= a n22a 9最大，a 912，a 10最小，a 108练习9：数列 a n 中，已知a 56，a n+1，求通项a n答：a n3数列 a n 中，已知a 56，a n+1 a na n+17 a n160，求通项a n答：a n10、a n+2p a n+1+q a n型对此种类型的递推关系，可设a n+2+a n+1=（a n+1+a n），其中、满足，从而得到数列 a n+1+a n为一等比数列，进而求出数列a n的通项公式例10（数学必修P696）已知数列a n中，a 15，a 22，a n
9、2 a n-1+3 a n-2（n3），试求数列a n的通项公式解：设a n+a n-1（a n-1+a n-2）有，解得或当时，有a n+ a n-13（a n-1+ a n-2）此时，数列a n1a n是首项为a 2+a 1=7，公比为3的等比数列a n1a n=73n-1 当时，有a n3 a n-1（a n-13 a n-2）此时， a n+13a n是首项为a 23a 113，公比为1的等比数列a n+13a n13（1）n-1得a n73n-113（1）n-1我们看到，由，得到两组解或，以上，我们求通项时用，的两组值。事实上对于，的任何一组值，都可独立地求得其通项公式对于，我们可得
10、到a n+1a n=73n-1，此即类型6，设a n+1p3n+1（a np3n）比较得，p=，从而有a n+13n+1（a n3n）数列 a n3n 是首项为a 13，公比为1的等比数列a n3n（1）n-1于是a n3n（1）n-173n-1+13（1）n-1对于，我们可得到a n+13a n13（1）n-1，此即类型6设a n+1p（1）n+13a n p（1）n比较得，p=，从而有a n+1（1）n+13a n （1）n数列 a n （1）n 是首项为a 1=，公比为3的等比数列a n （1）n=3n-1于是a n=3n-1（1）n73n-113（1）n-1 练习10：数列a n中，a 13，a 23，a na n-1+6 a n-2(n3)，试求通项a n答：a n83n-1+7（2）n-1试求斐波那契数列，a 1a 21，a n+2a n+1a n的通项公式答：a n练习解答：设a n+2a n+1（a n+1a n）则 或当，时有：a n+2 a n+1（a n+1 a n） a n+1 a n 是首项为a 2 a 1，公比为的等比数列a n+1 a n（）n 当，时有：a n+2 a n+（a n+1 a n） a n+1 a n是首项为a 2 a 1=，公比为的等比数列a n+1 a n（）n 由得a n
