《2015年高考数学（理科）真题分类汇编M单元 推理与证明》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2015年高考数学（理科）真题分类汇编M单元 推理与证明（7页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、 数 学M单元推理与证明 M1合情推理与演绎推理11M12015山东卷 观察下列各式：C40；CC41；CCC42；CCCC43；照此规律，当nN*时，CCCC_114n1解析 归纳可知，CCCC4n1.M2直接证明与间接证明162015湖南卷 N1(1)选修41：几何证明选讲如图15，在O中，相交于点E的两弦AB，CD的中点分别是M，N，直线MO与直线CD相交于点F.证明：(i)MENNOM180；(ii)FEFNFMFO.图15N3(2)选修44：坐标系与参数方程已知直线l：(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2cos .(i)将曲线C的极坐
2、标方程化为直角坐标方程；(ii)设点M的直角坐标为(5，)，直线l与曲线C的交点为A，B，求|MA|MB|的值N4、M2(3)选修45：不等式选讲设a0，b0，且ab.证明：(i)ab2；(ii)a2a2与b2b0，b0，得ab1.(i)由基本不等式及ab1，有ab22(当且仅当ab时等号成立)，即ab2.(ii)假设a2a2与b2b2同时成立，则由a2a0，得0a1；同理，0b1.从而ab1，这与ab1矛盾，故a2a2与b2b0，函数f(x)eaxsin x(x0，)记xn为f(x)的从小到大的第n(nN*)个极值点证明：(1)数列f(xn)是等比数列；(2)若a，则对一切nN*，xn|f(
3、xn)|恒成立21证明：(1)f(x)aeaxsin xeaxcos xeax(asin xcos x)eaxsin(x)，其中tan ，0.令f(x)0，由x0，得xm，即xm，mN*.对kN，若2kx(2k1)，即2kx0；若(2k1)x(2k2)，即(2k1)x(2k2)，则f(x)0.因此，在区间(m1)，m)与(m，m)上，f(x)的符号总相反，于是当xm(mN*)时，f(x)取得极值，所以xnn(nN*)此时，f(xn)ea(n)sin(n)(1)n1ea(n)sin .易知f(xn)0，而ea是常数，故数列f(xn)是首项为f(x1)ea()sin ，公比为ea的等比数列(2)由
4、(1)知，sin ，于是对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立，即nea(n)恒成立，等价于0)设g(t)(t0)，则g(t).令g(t)0，得t1.当0t1时，g(t)1时，g(t)0，所以g(t)在区间(1，)上单调递增从而当t1时，函数g(t)取得最小值g(1)e.因此，要使(*)式恒成立，只需.而当a时，由tan 且0知，.于是.因此对一切nN*，axn1，所以g(axn)g(1)e，故(*)式恒成立综上所述，若a，则对一切nN*，xn|f(xn)|恒成立M3 数学归纳法22B3、M3、E72015湖北卷 已知数列an的各项均为正数，bnnan(nN)，e为自然对数的底数(1)求函数f
5、(x)1xex的单调区间，并比较与e的大小；(2)计算，由此推测计算的公式，并给出证明；(3)令cn(a1a2an)，数列an，cn的前n项和分别记为Sn，Tn，证明：Tn0，即x0时，f(x)单调递增；当f(x)0时，f(x)单调递减故f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为(0，)当x0时，f(x)f(0)0，即1xex.令x，得1e，即e.(2)1112；22(21)232；323(31)343.由此推测：(n1)n.下面用数学归纳法证明.(i)当n1时，左边右边2，成立(ii)假设当nk时，成立，即(k1)k.当nk1时，bk1(k1)ak1，由归纳假设可得(k1)k(k1)(
6、k2)k1.所以当nk1时，也成立根据(i)(ii)，可知对一切正整数n都成立(3)证明：由cn的定义，算术几何平均不等式，bn的定义及得Tnc1c2c3cn(a1)(a1a2)(a1a2a3)(a1a2an)b1b2bnb1b2bna1a2anea1ea2eaneSn，即TneSn.23M32015江苏卷 已知集合X1，2，3，Yn1，2，3，n(nN*)，设Sn(a，b)|a整除b或b整除a，aX，bYn令f(n)表示集合Sn所含元素的个数(1)写出f(6)的值；(2)当n6时，写出f(n)的表达式，并用数学归纳法证明23解：(1)f(6)13.(2)当n6时，f(n)(tN*)下面用数学
7、归纳法证明：当n6时，f(6)6213，结论成立假设nk(k6)时结论成立，那么nk1时，f(k1)在f(k)的基础上新增加的元素在(1，k1)，(2，k1)，(3，k1)中产生，分以下情形讨论：(i)若k16t，则k6(t1)5，此时有f(k1)f(k)3k23(k1)2，结论成立；(ii)若k16t1，则k6t，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立；(iii)若k16t2，则k6t1，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；(iv)若k16t3，则k6t2，此时有f(k1)f(k)2k22(k1)2，结论成立；(v)若k16t4，则k6t3，此时有f(k1)f
8、(k)2k22(k1)2，结论成立；(vi)若k16t5，则k6t4，此时有f(k1)f(k)1k21(k1)2，结论成立综上所述，结论对满足n6的自然数n均成立 M4 单元综合8M42015广东卷 若空间中n个不同的点两两距离都相等，则正整数n的取值()A至多等于3 B至多等于4C等于5 D大于58B解析 正四面体符合要求，因此n可以等于4.下面证明n5不可能证明：假设存在五个点两两距离相等，设为A，B，C，D，E.其中A，B，C，D构成空间的正四面体ABCD，设其棱长为a.设G为BCD的中心，则不难算出AGa，BGa，且AG平面BCD.如果点E到A，B，C，D四点的距离相等，那么点E一定在
9、直线AG上，且EBa.如果点E在线段AG上，那么在RtEBG中，EGa，AGa，此时A，E重合，所以点E可能在AG的延长线上如果点E在AG的延长线上，此时EGa，EAaa.综上所述，如果E到正四面体的四个顶点的距离相等，那么点E只能是正四面体的四个顶点之一所以若空间中n个不同的点两两距离相等，则正整数n的取值至多是4.15M42015福建卷 一个二元码是由0和1组成的数字串x1x2xn(nN*)，其中xk(k1，2，n)称为第k位码元二元码是通信中常用的码，但在通信过程中有时会发生码元错误(即码元由0变为1，或者由1变为0)已知某种二元码x1x2x7的码元满足如下校验方程组：其中运算定义为：0
10、00，011，101，110.现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第k位发生码元错误后变成了1101101，那么利用上述校验方程组可判定k等于_155解析 1101101中x1x2x4x5x71，x3x60，则x4x5x6x71，不满足方程组，x2x3x6x70，满足方程组，所以推测x4或x5错误又x1x3x5x71，不满足方程组，所以x5错误，故k5. 72015泉州五校联考 已知三次函数f(x)ax3bx2cxd(a0)，设f(x)是函数yf(x)的导数，f(x)是f(x)的导数，若方程f(x)0有实数解x0，则称点(x0，f(x0)为函数yf(x)的“拐点”某同学经过探究发现，任何一个三
11、次函数都有“拐点”，任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心设函数f(x)x3x23x，请你根据该同学的发现，计算ffff_72014解析 f(x)x2x3，由f(x)2x10得x，则为yf(x)的对称中心，故ffff2f2，故ffff2014.82015武汉三调 如图K522(1)所示，在平面几何中，设O是等腰直角三角形ABC底边BC的中点，AB1，过点O的动直线与两腰或其延长线的交点分别为Q，R，则有2.类比以上结论，将其拓展到空间中，如图K522(2)所示，设O是正三棱锥ABCD中底面BCD的中心，AB，AC，AD两两垂直，AB1，连接AO，且过点O的动平面与三棱锥的三条侧棱或其延长线的交点分别为Q，R，P，则有_图K5228.3解析 设O到正三棱锥ABCD三个侧面的距离为d.易知V三棱锥R A
