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1、4、动点与平行四边形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用全等或锐角三角函数求出点的坐标【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（4，0），B（0，4），C（2，0）三点（1）求抛物线的解析式；（2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M的横坐标为m，AMB的面积为S求S关于m的函数关系式，并求出S的最大值（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线yx上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点Q的坐标xyOBCMA【解析】 （1）设抛物线的解析式为yax 2bxc（a0），则有 解得抛物线的解析式为yx 2x4 （
2、2）过点M作MDx轴于点D，设M点的坐标为（m，m 2m4）xyOBCMAD则ADm4，MDm 2m4S SAMDS梯形DMBO SABO(m4)(m 2m4)(m 2m44)(m)44m 24m（4m0）即S m 24m(m2)24S 最大值4（3）满足题意的Q点的坐标有四个，分别是：（4，4），（4，4）（2，2），（2，2）【例2】 如图，已知抛物线yax 2bxc（a0）的顶点坐标为Q（2，1），且与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），点P是该抛物线上一动点，从点C沿抛物线向点A运动（点P与A不重合），过点P作PDy轴，交AC于点D（1）求该抛物线的函数关
3、系式；（2）当ADP是直角三角形时，求点P的坐标；（3）在题（2）的结论下，若点E在x轴上，点F在抛物线上，问是否存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形？若存在，求点F的坐标；若不存在，请说明理由C(0,3)OABxyDPQ(2,-1)【解析】 （1）抛物线的顶点为Q（2，1），设ya(x2)21将C（0，3）代入上式，得3a(02)21a1 该抛物线的函数关系式为y(x2)21即yx 24x3 （2）如图1，有两种情况：OABxyDPQ(2,-1)(P1)(P2)D1D2H图1当点P为直角顶点时，点P与点B重合令y0，得x 24x30，解得x11，x23 4分点A在点B的右侧，B（1，0），
4、A（3，0）5分P1（1，0）6分当点A为直角顶点时OAOC，AOC90，OAD245当D2AP290时，OAP245，AO平分D2AP2又P2D2y轴，P2D2AO，P2、D2关于x轴对称设直线AC的函数关系式为ykxb，将A（3，0），C（0，3）代入得： 解得yx3D2在yx3上，P2在yx 24x3上设D2（x，x3），P2（x，x 24x3）(x3)(x 24x3)0，即x 25x60解得x12，x23（舍去）当x2时，yx 24x32 24231P2的坐标为P2（2，1）（即为抛物线顶点）9分P点坐标为P1（1，0），P2（2，1）10分（3）由题（2）知，当点P的坐标为P1（1，
5、0）时，不能构成平行四边形当点P的坐标为P2（2，1）（即顶点Q）时如图2，平移直线AP交x轴于点E，交抛物线于点FC(0,3)OABxyDPQ(2,-1)图2F1F2E2(P2)E1当APFE时，四边形APEF是平行四边形P（2，1），可令F（x，1）x 24x31，解得x12，x22故存在以A、P、E、F为顶点的平行四边形，点F的坐标为：F1（2，1），F2（2，1）【例3】 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过A（1，0），B（3，0），C（0，1）三点（1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上，点P在抛物线上，要使以点Q、P、A、B为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点P的坐
6、标xyOBCA【解析】 设该抛物线的表达式为yax 2bxc，根据题意，得 解得 所求抛物线的表达式为yx 2x1（2）当AB为边时，只要PQAB，且PQAB4即可又知点Q在y轴上，点P的横坐标为4或4，这时，符合条件的点P有两个当x4时，y；当x4时，y7xyOBCAP1P3Q3Q1P2Q2P1（4，），P2（4，7）当AB为对角线时，只要线段PQ与线段AB互相平分即可又知点Q在y轴上，且线段AB中点的横坐标为1点P的横坐标为2，这时，符合条件的点P只有一个当x2时，y1P3（2，1）综上，满足条件的点P有三个，其坐标分别为：P1（4，），P2（4，7），P3（2，1）【例4】 已知抛物线y
7、x 2bxc交y轴于点A，点A关于抛物线对称轴的对称点为B（3，4），直线yx与抛物线在第一象限的交点为C，连结OB（1）求抛物线的解析式；（2）如图（1），点P在射线OC上运动，连结BP，设点P的横坐标为x，OBP的面积为y，求y与x之间的函数关系式；（3）如图（2），点P在直线OC上运动，点Q在抛物线上运动，试问点P、Q在运动过程中是否存在以O、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形的情况，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由xyOABCP图（1）xyOABC图（2）xyOABC备用图【解析】 （1）B（3，4），点A与点B关于抛物线的对称轴对称，A（0，4）xyOABCPD图（1
8、）把A（0，4）、B（3，4）代入yx 2bxc得： 抛物线的解析式为yx 23x4 （2）如图（1），连结AB，作PDy轴，则D（0，x）S梯形ABPD ( x3 )(x4 )x 2x6SAOB 346，SDOP xxx 2xyOB图（2）P2P3P1Q1P4Q2Q3(Q4)yS梯形ABPDSAOBSDOP x （3）平移线段OB，使点B落在直线yx上，落点为P，点O落在抛物线上，落点为Q，则四边形OBPQ为平行四边形设P（x，x），O（0，0），B（3，4）Q（x3，x4）点Q在抛物线上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 237x400，解得：x8或xP1（8，2），P2（，
9、）平移线段OB，使点O落在直线yx上，落点为P，点B落在抛物线上，落点为Q，则四边形OBQP为平行四边形设P（x，x），O（0，0），B（3，4），Q（x3，x4）点Q在抛物线上，x4( x3 )23( x3 )4整理得：4x 211x0，解得：x0（舍去）或xP3（，）平移线段OP3，使点P3与点O重合，则点O落在直线yx上点P4处，四边形OPBQ为平行四边形P4（，）综上所述，符合条件的点P有4个，分别是：P1（8，2），P2（，），P3（，），P4（，）【例5】 如图，抛物线交x轴于点A（2，0），点B（4，0），交y轴于点C（0，4）（1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；（2）若
10、直线yx交抛物线于M，N两点，交抛物线的对称轴于点E，连接BC，EB，EC试判断EBC的形状，并加以证明；（3）设P为直线MN上的动点，过P作PFED交直线MN下方的抛物线于点F问：在直线MN上是否存在点P，使得以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出点P及相应的点F的坐标；若不存在，请说明理由【解析】 （1）设抛物线的解析式为yax 2bxc（a0）点A、B、C均在此抛物线上 所求的抛物线的解析式为yx 2x4 ，顶点D的坐标为（1，）（2）EBC的形状为等腰三角形 证明：（法一）直线MN的函数解析式为yxON是BOC的平分线 B、C两点的坐标分别为（4，0），（0，4）C
11、OBO4MN是BC的垂直平分线 CEBE即ECB是等腰三角形 PF（法二）直线MN的函数解析式为yxON是BOC的平分线COEBOE B、C两点的坐标分别为（4，0）、（0，4）COBO4又OEOECOEBOE CEBE即ECB是等腰三角形 （法三）点E是抛物线的对称轴x1和直线yx的交点E点的坐标为（1，1）利用勾股定理可求得CE，BECEBE 即ECB是等腰三角形 （3）解：存在 PFED要使以P、E、D、F为顶点的四边形是平行四边形，只要使PFED点E是抛物线的对称轴x1和直线yx的交点E点的坐标为（1，1）ED1() 点P是直线yx上的动点设P点的坐标为（k，k）则直线PF的函数解析式
12、为xk点F是抛物线和直线PF的交点F的坐标为（k，k 2k4）PFk(k 2k4)k 24 k 24k1 当k1时，点P的坐标为（1，1），F的坐标为（1，）此时PF与ED重合，不存在以P、F、D、E为顶点的平行四边形当k1时，点P的坐标为（1，1），F的坐标为（1，）此时，四边形PFDE是平行四边形5、动点与梯形问题兵法：1利用对边平行，进行分类讨论，然后画出要求的点 2利用一次函数与二次函数联立求交点坐标【例1】 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是yx 21，点C的坐标为（4，0），平行四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q（x，y）在抛物线上，点P（t，0）在x轴上（1）写出点M的坐标；（2）当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围；当梯形CMQP的两底的长度之比为1 : 2时，求t的值xyOBCA11PQM【解析】 （1）OABC是平行四边形，ABOC，且ABOC4A，B在抛物线上，y轴是抛物线的对称轴，A，B的横坐标分别是2和2代入yx 21，得A（2，2），B（2，2）M（0，2）（2）过点Q作QHx轴于
