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1、三角恒等变换常考题型及解析山东省寿光中学 刘万岗262700三角恒等变换是三角函数部分常考的知识点，是求三角函数极值与最值的一 个过渡步骤，有时求函数周期求函数对称轴等需要将一个三角函数式化成一个角 的一个三角函数形式，其中化简的过程就用到三角恒等变换，有关三角恒等变换 常考的题型及解析总结如下，供同行们商榷。题型一：通过和差角公式以及倍角公式考察三角函数函数的求值问题。例题1.若A.2cos(a _ 閃=亍c o|(口 4閃=| ；1B.亍则画於曲0的值为(3D* 答案：B.).COSfl： - 0)解析：由3二J5总2COECC C0 Q =siflifr； sin# = 一解得L，3 c
2、oscc cos/J 十 siticcahi# =cosa cos/i - smo; sin/T = 5点评：在三角恒等变换中和差倍角应用以及整体求值问题是常考题型，应该引起我们足够的 重视。题型二通过角的重新组合求三角函数值。例题 2.已知 tan(a+p) = 3，tan(ap) = 5，则 tan 2a=(774A.B.C. 447)4D.-7答案.Ctan(a+ P)+ tan(aP)解析：tan 2f 0) + ( = i tan(a+p )tan(aP)=变式 1.若 0a p冗，且 cos p= 1, sin(a+p)=，则 sin a 的值是().239C. I31 5123A
3、.B.C.D.2727327解析：由OVdV - vpv冗，知-a+p -冗且 cos P=丄，sin(a+p) = ?，222392 I12412得 sin P= ，cos(a+p) = 9. sin a=sin(a+ p) p= sin(a+p) cos pcos(a1+ P) sin p =3,cos(a+p)=点评：角的重新组合是在三角恒等变换中解决求三角函数值常用的技巧，应该掌握这种基本技能，从而在求三角函数值时得心用手。题型三：切弦互化解决三角函数求值问题。例题3：锐角三角形的内角A, B满足tan A=tan B,则有().sin2 AA. sin 2A cos B= 0B. s
4、in 2Acos B= 0C. sin 2A sin B= 0D. sin 2Asin B= 0解析：由 tan A=tan B,得=tan Atan B n=sin( A-B)sin2 Asin2 A2sin A cos Acos Acos Bn cos B=2sin Asin (A B) n cos (AB)A =2sin Asin (AB)n cos (AB) cos A sin Asin (AB) =0,即 cos (2AB) =0.n/ ABC是锐角三角形，-V2ABVn2AB= n sin 2A = cos B,即 sin 2Acos B=0.答案 A2点评：切化弦是解决含有切函数
5、和弦函数常用的技巧，也是首选的思路。题型四：通过三角恒等变换化成一个角的一个三角函数形式或者通过二次函数解决求最值 问题。例题 4：已知函数 f (x) = 2cos 2x + sin2 x - 4cos x求f(y)值的；(2)求f(x)的最大值和最小值。解析:(1)239f( ) = 2cos+ sm2 4cos =一1 + 一2 = 一一333344(2) f (x) = 2(2cos 2 x -1) + (1-cos2 x) - 4cos x27= 3cos2 x - 4cos x - 1=3(cosx - )2 - , x e R,33因为cosx e -1,1,所以当 cosx =-1时,f (x)取最大值6;当cos x = 3时,f (x)取最小值点评：在解决三角函数求周期、对称轴以及最值问题必须把三角函数式化成一个角的一个三 角函数问题，或者借助二次函数求最值。以上几方面就是三角恒等变换常考题型，当然还有比较大小，求范围问题等 一些，只要不断总结，深化解题规律，就能学好三角恒等变换部分，这就是笔者 从多年的教学中总结的规律。
