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1、7.2等差 等比数列的通项及求和【知识网络】1等差数列的通项公式：an 2 (n_1)d ；前n项和色 吨=乜 1)d ;2 2其变形 Sn 弓n2 (ai -2)n ;n 印，q = 12、 等比数列的通项公式：an 心亠；前n项和Sn = Q(1-qn)- ，q -_q3、在五个基本量a-,d(q), na., &中，已知三个量求出另外两个量；4、由错项相减，裂项法等来求数列前n项的和。【典型例题】S3 S6例1： (1 )设Sn是等差数列 an的前n项和，若-3=-，则三6 =()S6 3Si23111(A 10(B) 3(C)8(D)9答案：A。解析：根据等差数列的性质Sm，S2m -
2、Sm，S3m -S2m成等差数列，即可得解。(2)设Sn是等差数列 阮 的前n项和，S6 =36,Sn =324,Sn=144(n 6)，则n等 于()A. 15B. 16C. 17D. 18答案：D。解析：由Sn =324,Sn =144得a.乜.- a.】-久丄=180，再由S6 =326” a an =36,. Sn J； an) =324, n =18。(3) 在等差数列:an中，a,。：0,切.0，且a-心1。|，则中最大的负数为()A.S17B.S18C.S19D.# / 9答案：C。解析：S19=19a,0：:0,S20=10(a,0-a11)- 0。(4) 在德国不莱梅举行的第
3、48届世乒赛期间，某商场橱窗里用同样的乒乓球堆成若干准“正三棱锥”形的展品，其中第一堆只有一层，就一个乒乓球；第2、3、4、堆最底层(第一层)分别按图所示方式固定摆放从第一层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n堆第n层就放一个乒乓球，以f(n)表示第n乒乓球总数，则 f(3) = ； f(n )=(答案用n表示)答案：f (3) =10, f(n) =n(n 1)(n2)6解析：f(1)=1 ,由题可知f (2) =4, f(3) =10,下一堆的个数是上一堆的个数加上其 第一层个数，即f(n) =f(n_1) 吗卫，再累加即可得。(5) 等差数列：an /共有2n1项，其中奇数项之和为
4、 319，偶数项之和为290，则中间项 为.答案：29。解析：S奇一S偶=29=a中。例2 :有固定项的数列的前n项和Sn = 2n2 n ,现从中抽取某一项(不包括首相、末项)后，余下的项的平均值是79.(1) 求数列Can ?的通项耳;(2) 求这个数列的项数，抽取的是第几项。答案：解：(1 )由Sn=2 n2+n 得 a,=S=3，当 n2 时，an=Sn4n1,显然满足n=1, a. =4n-1,.数列laj是公差为4的递增等差数列.(2)设抽取的是第k项，贝U & -Sk =79(n-1),2 2ak =(2nn) -79(n-1) =2n -78n 79.2aka12n- 78n7
5、93由：2： 38 ： n ： 40 ,ak :an2n-78n79 ： 4n-1由 ak =2n2-78n 79=2 392 -78 39 79 =4k-1 = k = 20 .故数列；Gn 1共有39项，抽取的是第 20项.例3:已知等差数列an的首项31= 1，公差d0，且第二项，第五项，第十四项分别是 等比数列bn的第二项，第三项，第四项.求数列an与bn的通项公式；设数列Cn对任意正整数n,均有5 9 纟= an 4，求5+ C2 + C3+- + d d babnC2007的值.答案：由题意得(a1+ d) (a1+ 13d) = (a1+ 4d)2(d0) 解得 d= 2, an
6、= 2n 1, bn= 3n 1.f当 n= 1 时，C1 = 3 当 n 2 时，t =an+-an, n=!)故 c2-3nbn2 3n (nA2).C1 C2 -比2007 =3 2 3 2 32 ： 2 3200 32007例4 :已知数列、an 中，印=1, a2二r (r 0)且数列an an d是公比为q(q0且q=1)的等比数列，又设 bn=a22-a2n (n =1,2,3)。(I )求数列，的通项bn及前n项和Sn；(n )假设对任意n1都有Snbn,求r的取值范围。答案：解：(I)： an an 1是公比为q的等比数列，二 二也 並anan an -1-a2n!a2n分别
7、是首项为1与r，公比均为q的等比数列n A“、 na2n J - q ， a2n - r q bn - a2n 二一 a2n = (1 一 r) q：q Sn =(1 -r)(1 q 亠 亠qn=) =(1 -r)1 q彳 n彳n _1(n) Snbn =(1r )(：!qn1 )=(1r).孚1 -q1 -q对任意的 n 1，当 0 :：:q ：1 时，0 ：qn:：:1 1 -q 0 , 1 -qnJ . 0, 01q1 qn当 q1 时，q15。，1-宀0右 01 n故当 n 1 时，均有 q 0 当 0 ：r ：1 时 /01q则 Sn -bn 0因此，对任意n 1,使Sbn的取值范围
8、是o ： r : 1【课内练习】1. 在等差数列 an中，若a4 a5 =12,S n是数列 an的前n项和，则S8的值为()A.48B.54C.60D.66答案：A。解析：由a4 as=12=a ag,S8=8(a；=482. an是实数构成的等比数列，Sn是其前项和，则数列 Sn中()A .任一项均不为 0B .必有一项为0C.至多有一项为 0D .或无一项为0，或无穷多项为0答案：D。解析：若数列为1,-1,1,-1川，则S中有无穷多项为0,否则无一项为0。3. 设 f(n) = 2 2 等差数列前项和为Sn，已知a1 =13,S = Sn,n为时，Sn最大. 27 210 III 23
9、n 1 (n N)，则 f(n)等于()nn 1A.(8 -1)B.(8-1)C.|(8n 3 -1)D.|(8n 4 -1)答案：B.解析：f(n) =2(1一8 )/g 1 _1)。1-87答案：7。解析：由Q =，则a? +a8 =0，由q =13 S =Si,”； J是一递减数列，即S7最大。325. 若a+ b + c, b+ c a, c+ a b, a+ b c依次成等比数列，公比为 q,贝U q + q + q 答案：q3+ q2+ q = 1。解析：设 x= a+ b+ c,贝U b+ c a = xq, c+ ab = xq2, a+b c32332=xq，二 xq+xq
10、+ xq = x(xm 0) / q + q + q = 1.16. 已知数列:an ?满足a, =1,a2 =/,务2( N )，则该数列前26项的和为。an答案：-10。解析：的各项的值具有周期性。7.已知正项数列 曲，其前n项和Sn满足10Sn二an2 5an 6,且,直，a15成等比数列，求数列 的通项an.答案：解析：T0Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3.2又 10Sn-1=an-1 +5an-1+6(n 2),2 2由一得 10an=(an a -1 )+5(an 外-1),即(an+an-1)(an an- 1 5)=0-a
11、n+an 10 , an an1=5 (n2).当 a1=3 时,a3=13,a15=73. a1, a3,a15 不成等比数列3;当 a1 =2 时,a3=12, a15=72,有 a3 =a1 a5 ,a1=2, - - an=5n 3.n-1&已知数列2 an 的前n项和B =9 -6n .求数列an的通项公式;设 bn =n. 3 -log2即，求数列丄的前n项和.bn3,n 日答案：门二1 时，a1=3 ；n_2 时，2an= Si_ Si = an匸！，an=62匕H nH2(2) n=1 时，Q =3 ； n _2 时,bn =n(32 n) =n(n 1).bn1 1 n(n
12、亠 1) n1n-12331_ 5n -1n 16(n -1)9.已知数列 a 的首项为a =3，通项an与前n项和Sn之间满足2an = Sn 0 .4 5淳)。(1) 求证：丿1卜是等差数列，并求公差;LSn ,(2) 求数列Pn ?的通项公式。答案：解析：1 11(1)2 ( Sn - SnJ =Sn SnvSnSn 斗2且公差为-1 1 1S = 3(门一。(才Sn65 - 3n当 n=1 时，a1=3当 n2时，an=S n Sn-1=18(3n - 5)(3n -8)10.已知等差数列 乩的第二项为8，前10项和为185。(1) 求数列订.？的通项公式；(2) 若从数列:an 中，
13、依次取出第2叽第4叽第8项，第2n项，按原来顺序组成一个新 b 数列，试求数列bn 的通项公式和前 n项的和a1 + d =80=5答案：解：(1)依题意解得0,S1 V0，则使a0的最小的n值是() 2n 2n=32n = 3 22n-62-1【作业本】A组1.设等差数列an/的前n项和为Sn，且a37一an=8|一a = 14,则S13等于()A. 168B. 286C. 78D. 152答案：B。解析：由已知得 q -d =8,7 d =14,. d =2,q =10，则 $3=286。2在等差数列Caj中，公差为d，且 = 4S5，则旦等于()d11A.B. 8C.D. 442答案：G 解析：10a,=4(5 5 4d) 5d =10a1，即比二丄。22d 2B. 6 C. 7答案：B。解析：由S。.0，则a5.0，由Si ：:0，则asas:：: 0 ,a使an：: 0的最小的n值为6。2 aI4. 已知数列an中，a. i-对任意正整数n都成立，且a-，则a .an +221iiiii
