《2013版数学一轮精品复习学案12命题及其关系、充分条》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2013版数学一轮精品复习学案12命题及其关系、充分条（11页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、高三数学一轮精品复习学案：第一章集合与常用逻辑用语第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件【高考目标导航】一、考纲点击1、理解命题的概念；2、了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3、理解必要条件、充分条件与充要条件的意义。二、热点、难点提示1、充分必要条件的判断和四种命题及其关系是本节考查的热点；2、多以选择题、填空题的形式出现，由于知识载体丰富，具有较强的综合性，属于中、低档题目；有时也在解答题中出现，考查对概念的理解与应用，难度不会太大。【考纲知识梳理】1、命题用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题，其中判断为真的语句叫做真命
2、题，判断为假的语句叫做假命题。2、四种命题及其关系（1）四种命题命题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若，则逆否命题若，则（2）四种命题间的相互关系（3）四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为命题，它们的真假性没有关系；注：否命题是命题的否定吗？答：不是。命题的否命题既否定命题的条件，又否定命题的结论，而命题的否定只否定命题的结论。3、充分条件与必要条件（1）“若p，则q”为真命题，记，则p是q的充分条件，q是p的必要条件。（2）如果既有，又有，记作，则p是q的充要条件，q也是p的充要条件。【要点名师透析】一、命题的关系与真假的判断1、
3、相关链接（1）对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假。（2）四种命题的关系的应用掌握原命题和逆否命题，否命题和逆命题的等价性，当一个命题直接判断它的真假不易进行时，可以转而判断其逆否命题的真假。注：当一个命题有大前提而写出其他三种命题时，必须保留大前提，大前提不动。2、例题解析例1设原命题是“已知p、q、m、n是实数，若p=q，m=n，则pm=qn”写出它的逆命题、否命题、逆否命题，并判断其真假解：逆命题：“已知p、q、m、nR，若pm=qn，则p=q，m=n(假)原命题：“已知p、q、m、nR，若pq，mn，则pmqn
4、”(假)逆否命题：“已知p、q、m、nR，若pmqn，则pq或mn”(真)注，否命题“若pq，mn”应理解为“pq或mn”即是指：pq，但m=n，p=q但mn，而不含pq且mn因为原命题中的条件：“若p=q，m=n”应理解为“若p=q且m=n，”而这一语句的否定应该是“pq或mn”例2以下列命题为原命题，分别写出它们的逆命题，否命题和逆否命题内接于圆的四边形的对角互补；已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd；分析：首先应当把原命题改写成“若p则q”形式，再设法构造其余的三种形式命题解析：对：原命题：“若四边形内接于圆，则它的对角互补”；逆命题：“若四边形对角互补，则它必内接于某圆”
5、；否命题：“若四边形不内接于圆，则它的对角不互补”；逆否命题：“若四边形的对角不互补，则它不内接于圆”对：原命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab，cd，则acbd”，其中“已知a、b、c、d是实数”是大前提，“ab，cd”是条件，“acbd”是结论所以：逆命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd，则ab，cd”；否命题：“已知a、b、c、d是实数，若ab或cd，则acbd”(注意“ab，cd”的否定是“ab或cd”只需要至少有一个不等即可)；逆否命题：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab或cd”逆否命题还可以写成：“已知a、b、c、d是实数，若acbd则ab，cd两个等式至少有
6、一个不成立”说明：要注意大前题的处理试一试：写出命题“当c0时，若ab，则acbc”的逆命题，否命题，逆否命题，并分别判定其真假二、充分条件与必要条件的判定1、相关链接（1）利用定义判断若，则p是q的充分条件；注：“p是q的充分条件”是指有p就有q，但无p也可能有q如“两个三角形全等”是“两个三角形面积相等”的一个充分(不必要)条件，但无“两个三角形全等”也可推出“两个三角形面积相等”，如“两个三角形同底等高”就又是“两个三角形面积相等”的另一个充分(不必要)条件若，则p是q的必要条件；注： “q是p的必要条件”是指有q才能有p，但有q未必有p如，一个偶数未必能被6整除(q：为偶数，p：能被6
7、整除)若且，p是q的充要条件；p是q的必要而不充分条件（2）利用集合判断记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：若若，则p是q的充分不必要条件；若若，则p是q的必要不充分条件；若A=B，则p是q的充要条件；注：p与q之间的关系的方向性，充分条件与必要条件方向正好相反，不要混淆。2、例题解析例1 “”是“直线相互垂直”的（ ）A充分必要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件D既不充分也不必要条件答案：B；解析：当时两直线斜率乘积为从而可得两直线垂直,当时两直线一条斜率为0一条斜率不存在,但两直线仍然垂直.因此是题目中给出的两条直线垂直的充分但不必要条件。注：对于两条直线垂直的充要条件都存在时中
8、有一个不存在另一个为零对于这种情况多数考生容易忽略。例2已知p：x1，x2是方程x25x60的两根，q：x1x25，则p是q的 A充分但不必要条件B必要但不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件分析：利用韦达定理转换解析：x1，x2是方程x25x60的两根，x1，x2的值分别为1，6，x1x2165因此选A说明：判断命题为假命题可以通过举反例三、充要条件的证明例1（12分）求证方程ax2+2x+1=0有且只有一个负数根的充要条件为a0或a=1.分析：（1）讨论a 的不同取值情况；（2）利用根的判别式求a的取值范围. 解答：充分性：当a=0时，方程变为2x+1=0,其根为x=,方程只有一个负根
9、；当a=1时，方程为x2+2x+1=0.其根为x=-1,方程只有一个负根。当a0,方程有两个不相等的根，且0,方程有一正一负根。必要性：若方程ax2+2x+1=0有且仅有一个负根。当a=0时，适合条件。当a0时，方程ax2+2x+1=0有实根，则=4（1-a）0，a1,当a=1时，方程有一个负根x=-1.若方程有且仅有一负根，则 a0综上方程ax2+2x+1=0有且仅有一负根的充要条件为a0或a=1注：（1）条件已知证明结论成立是充分性，结论已知证明条件成立是必要性；（2）证明分为两个环节，一是充分性；二是必要性。证明时，不要认为它是推理过程的“双向书写”，而应该进行由条件到结论，由结论到条件
10、下的两次证明；（3）证明条件时易出现必要性与充分性混淆的情形，这就要分清哪是条件，哪是结论。例1给出下列各组条件：(1)p：ab0，q：a2b20；(2)p：xy0，q：|x|y|xy|；(3)p：m0，q：方程x2xm0有实根；(4)p：|x1|2，q：x1其中p是q的充要条件的有 A1组 B2组 C3组 D4组分析：使用方程理论和不等式性质解析： (1)p是q的必要条件(2)p是q充要条件(3)p是q的充分条件(4)p是q的必要条件选A说明：ab0指其中至少有一个为零，而a2b20指两个都为零【感悟高考真题】例1（2011安徽高考理科7）命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是（A）所
11、有不能被2整除的整数都是偶数（B）所有能被2整除的整数都不是偶数（C）存在一个不能被2整除的整数是偶数（D）存在一个不能被2整除的整数不是偶数【思路点拨】此命题为全称命题，全称命题的否定为相应的特称命题.【精讲精析】选D. 全称命题的否定为相应的特称命题，即将所有变为存在，并且将结论进行否定.例2（2011福建卷理科2）若aR，则“a=2”是“（a-1）（a-2）”=0的( )(A).充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件(C).充要条件 (D).既不充分又不必要条件【思路点拨】解决本题的关键是判断“a=2”与“（a-1）（a-2）=0”两者之间满足怎样的推出关系.【精讲精析】选A .由得或
12、，所以而=0 ，故是的充分而不必要条件.例3（2011江西高考理科8） 已知是三个相互平行的平面，平面之间的距离为，平面之前的距离为，直线与分别相交于.那么“”是“”的( )A、充分不必要条件 B、必要不充分条件C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件【思路点拨】先根据面面平行的性质定理得出，线线平行，再根据平行线分线段成比例这一性质，易得两者之间的关系.【精讲精析】选C.如图所示，由于例4（2011山东高考理科5）对于函数y=f（x），xR，“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”是“y=f（x）是奇函数”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件 （C）充要条件 （D）既不充分也不必
13、要条件【思路点拨】考察充分必要条件【精讲精析】选B.“y=f（x）是奇函数”，图象关于原点对称，所以“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”“y=|f(x)|的图像关于y轴对称”， y=f（x）的图象关于y轴对称或者关于原点对称，所以y=f（x）不一定为奇函数例5（2010湖南文数）2. 下列命题中的假命题是A. B. C. D. 【答案】C【解析】对于C选项x1时，故选C例6（2010陕西文数）6.“a0”是“0”的A(A)充分不必要条件（B）必要不充分条件（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件 解析：本题考查充要条件的判断， a0”是“0”的充分不必要条件例7（2010浙江文数）（6）设0x，则“x sin2x1”是“x sinx1”的（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件解析：因为0x，所以sinx1，故xsin2xxsinx，结合xsin2x与xsinx的取值范围相同，可知答案选B，本题主要考察了必要条件、充分条件与充要条件的意义，以及转化思想和处理不等关系的能力，属中档题【考点模拟演练】（1）（2011届成都高三摸底（理）已知命题p：若xy，则，那么下列叙述正确的是(A)命题p正确，其逆命题也正确(B)命题p正确，其逆命题不正确(C)命题p不正确，其逆命题正确(D)命题p不正确
