《关于函数极限的多种求法-学位论文.doc》由会员分享，可在线阅读，更多相关《关于函数极限的多种求法-学位论文.doc（24页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、目录1 一元函数极限的求法11.1 一元函数极限的定义11.2 一元函数极限求解方法21.2.1 利用定义求极限21.2.2 利用Cauchy求极限21.2.3 利用单调有界原理求极限31.2.4 利用数列与子列、函数与数列的极限关系求极限31.2.5 利用极限的运算法则求极限41.2.6 利用等价代换求极限41.2.7 利用初等变形求极限51.2.8 利用夹逼性准则求极限51.2.9 利用两个重要极限求极限61.2.10 利用变量替换求极限71.2.12 利用洛必达法则求极限81.2.13 利用Toylor公式求极限91.2.14 利用导数的定义求极限101.2.15 利用微分中值定理求极限
2、111.2.16 利用积分定义求极限121.2.17 利用积分中值定理求极限131.2.18 利用级数求极限131.2.19 利用黎曼引理求极限142 二元函数极限的求法142.1 二元函数极限的定义142.2 二元函数极限的若干求法162.2.1 利用定义求极限162.2.2 利用多元函数的洛必达法则求极限162.2.3 利用连续性求极限172.2.4 利用无穷小量与有界变量的乘积仍是无穷小量求极限182.2.5 通过对分式的分子或分母有理化求极限182.2.6 利用极限的夹逼性准则求极限182.2.7 利用等价无穷小变换求极限192.2.8 利用变量替换, 将二重极限化为一元函数中的已知极
3、限求极限192.2.9 利用取对数法求极限192.2.10 用三角变换法求极限202.2.11 利用一元函数中的极限推广求极限202.2.12 利用无穷小的性质求极限202.2.13 利用()法求极限21参考文献22II关于函数极限的多种方法作者 杨松 指导教师 马玲副教授（湛江师范学院数学与计算科学学院，湛江 524048）摘 要 本文较为全面地总结了一元函数，二元函数极限的若干求法，并通过例题加以说明.关键词 极限；方法 About the Number of Methods Solution Functional LimitYangsong( Mathematics and Comput
4、ational Science School, Zhanjiang Normal UniversityZhanjiang,524048 China)Abstract The paper more comprehensively summarizes the number of methods of solution of functional limit about the functions of one variable and binary function limit ,and examples to illustrate.Keywords limit;methods1 一元函数极限的
5、求法1.1 一元函数极限的定义1定义1 设为定义在上的函数, 为定数, 若对任给的, 存在正数(）, 使得当时有 则称函数当趋于时以为极限,记作 或定义2 设函数在点的某个空心邻域内有定义, 为定数.若对任给的, 存在正数, 使得当时，有 , 则称函数当趋于时以为极限, 记作 1.2 一元函数极限求解方法1.2.1 利用定义求极限 例12 用极限的定义证明 证 ，要（此式解出n有困难），记，此式可改写成，得 （当n1时）至此要.只要,即，故令.则nN时有.注意 用极限的定义时, 只需要证明存在, 故求解的关键在于不等式的建立. 在求解的过程中往往采用放大、缩小等技巧, 但不能把含有的因子移到不
6、等式的另一边再放大, 而是应该直接对要证其极限的式子一步一步放大, 有时还需加入一些限制条件, 限制条件必须和所求的(或)一致, 最后结合在一起考虑.1.2.2 利用Cauchy求极限 例22 设，试证收敛.证 因为 = = ，（只要（即），故令，则nN时，有，收敛获证. 注意 在事先不知道极限的猜测值时可选择Cauchy准则.1.2.3 利用单调有界原理求极限 定理11 在实数系中，有界的单调数列必有极限.例32 设，证明存在.证 利用不等式，得（有下界）. = ，即. 单调下降，有下界.故收敛.注意 利用单调准则证明极限存在, 主要方面的性质: 单调性和有界性. 解题的难点在于判断单调性,
7、 一般通过数学归纳法、减法、除法比较前后项1.2.4 利用数列与子列、函数与数列的极限关系求极限2例4 证明从任一数列中必可选出一个（不一定严格）单调的子数列. 证 （我们来证明：如果不存在递增子序列，则必存在严格递减的子序列）假若中存在（不一定严格的）递增子序列，则问题已被解决.若中无递增子序列，那么，使得，恒有.同样在中也无递增子序列.于是又，使得，恒有.如此无限进行下去，我们便可以找到一严格递增的子序列.1.2.5 利用极限的运算法则求极限 定理2 已知, 都存在, 极限值分别为, , 则 (1) ；(2) ；(3) （此时需成立). 例 5 求.解: 原式 . 注意1 对于和、差、积、
8、商形式的函数求极限, 可以采用极限运算法则, 使用时需要先对函数做某些恒等变换或化简, 变换的方法通常有分式的通分、约分、分解因式、分子分母有理化、三角函数的恒等变化、拆项消去法、比较最高次幂法等.注意2 运用极限法则时, 必须注意只有各项极限都存在(对商, 还要分母极限不为零)时才能适用.1.2.6 利用等价代换求极限 例6 求 解 因为，故原式= . 要点：在求乘除式极限里，其因子可用等价因子代替，极限不变.最常用的等价关系如：当时，（其中a0,b0）.还有.1.2.7 利用初等变形求极限 例7 求,设.解 乘以. (当时)（）. 要点：用初等数学的方法将变形，然后求极限.1.2.8 利用
9、夹逼性准则求极限 定理31 设, 且在某一空心邻域内有 ,则 . 例8 求.解: 当时, 有 ,从而 ,由夹逼准则得 ,所以 .注意1 夹逼准则多适用于所考虑的函数比较容易适度放大或缩小, 而且放大和缩小的函数是容易求得相同的极限. 基本思想是把要求解的极限转化为求放大或缩小的函数或数列的极限.注意2 利用夹逼准则求函数极限的关键：（1）构造函数, , 使；（2）, 由此可得.1.2.9 利用两个重要极限求极限两个重要极限:（1)； (2). 根据复合函数的极限运算法则, 可将以上两个公式针对递推数列, 必须验证数列两个进行推广：(1) ()； (2) .例9 .解: 1.2.10 利用变量替
10、换求极限 要点：为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过程.例10 若，试证解 令，则时，.于是= =. （1） 当时第二、三项趋向零.现证第四项极限亦为零.事实上，因(当 时)，故有界，即，使得（），故从而（1）式以为极限.1.2.11 利用初等函数的连续性求极限（适用于求函数在连续点处的极限）利用初等函数的连续性求极限主要应用下列结果：(1)若f(x)在处连续，则 f(x)= f()；(2)若（x）=A，y=f(u)在u=A处连续则f(x)=f(A);(3)若f(x)=A0, g(x)=B,则=例11
11、： 解 .由于初等函数在有定义的地方皆连续，原极限.1.2.12 利用洛必达法则求极限 洛比达法则是求“”型和“”未定式极限的有效方法，但是非未定极限却不能求。（0-，-，型未定式可以转化为“”型和“”未定式）定理4：若 （i） f(x)=0，g（x）=0 （ii）f与g在的某空心领域内可导，且g（x）0 （iii）=A（A可为实数，也可为或），则=A此定理是对“”型而言，对于函数极限的其他类型，均有类似的法则。例122 求极限解 .故原式=. 注意 (1)每次在使用法则之前，务必考察它是否属于七种不定型，否则不能用;(2)一旦用法则算不出结果，不等于极限不存在.例如，就是如此.这是因为法则只
12、是充分条件，不是必要条件.(3) 型的法则使用时，只需检验分母趋向无穷大即可，分子不趋向无穷大也没关系.1.2.13 利用Toylor公式求极限 例13 求极限解 原式=1.2.14 利用导数的定义求极限 定义3 设函数在点的某个邻域内有定义, 若极限 存在,则称函数在点处可导, 并称该极限为函数在点处的导数, 记作. 例14 设存在, 求. 解 . 例15 求. 解 这是型极限,先转化成, 其指数是型极限, 由数列极限于函数极限的关系及导数的定义知,因此由复合函数求导得原式. 注意 对于一般抽象函数求极限时, 如果已知它的导数是存在的, 则经常利用导数的定义求极限.1.2.15 利用微分中值定理求极限1.2.15.1 用拉格朗日中值定理求极限（或柯西中值定理）定理51 (拉格朗日中值定理)若函数满足如下条件：(1)在闭区间上连续；(2)在开区间上可导,则在上至少存在一点,使得 . 例16 求,其中.解 由题意, 可对和分别应用拉格朗日中值定理, 则 原式= = =（其中 例17 计算.解 设, 由于在上连
