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1、考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.（1）数列an和bn满足 （n=1，2，3），（1）求证bn为等差数列的充要条件是an为等差数列。 （2）数列an和cn满足，探究为等差数列的充分必要条证明：（1）必要性 若bn为等差数列，设首项b1，公差d则 an为是公差为的等差数列充分性 若an为等差数列，设首项a1，公差d则当n=1时，b1=a1也适合bn+1bn=2d， bn是公差为2d的等差数列 （2）结论是：an为等差数列的充要条件是cn为等差数列且bn=bn+1其中 （n=1，2，3） 例题2.已知数列的首项（a是常数，且），（），数列的首项，（）。 （1）证明：从第2项起是以2为公比的
2、等比数列；（2）设为数列的前n项和，且是等比数列，求实数的值；（3）当a0时，求数列的最小项。分析：第（1）问用定义证明，进一步第（2）问也可以求出，第（3）问由的不同而要分类讨论。解：（1）(n2)由得， ，即从第2项起是以2为公比的等比数列。（2）当n2时，是等比数列, (n2)是常数，3a+4=0，即 。（3）由（1）知当时，所以，所以数列为2a+1，4a，8a-1，16a，32a+7，显然最小项是前三项中的一项。当时，最小项为8a-1；当时，最小项为4a或8a-1；当时，最小项为4a；当时，最小项为4a或2a+1；当时，最小项为2a+1。考点二：求数列的通项与求和例题3.已知数列中各项
3、为： 12、1122、111222、 （1）证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积. （2）求这个数列前n项之和Sn . 解：（1） 个记：A = , 则A=为整数 = A (A+1) ， 得证 (2) 例题4. 已知数列满足，（）求数列的通项公式；（）设，求数列的前项和；（）设，数列的前项和为求证：对任意的，解：（），又，数列是首项为，公比为的等比数列 ，即. （） （）， 当时，则， 对任意的， 考点三：数列与不等式的联系例题5.已知为锐角，且，函数，数列an的首项. 求函数的表达式； 求证：； 求证：解： 又为锐角 都大于0 , , 又 例题6已知数列满足（）求数列的通项公式；（）若
4、数列满足，证明：是等差数列；（）证明：解：（1），故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），得，即得，即所以数列是等差数列（3）设，则 例题7. 已知函数,数列满足, ; 数列满足, .求证:（）（） （）若则当n2时,.解：()先用数学归纳法证明,.（1）当n=1时,由已知得结论成立;（2）假设当n=k时,结论成立,即.则当n=k+1时,因为0x1时,所以f(x)在(0,1)上是增函数.又f(x)在上连续,所以f(0)f()f(1),即0. 故当n=k+1时,结论也成立. 即对于一切正整数都成立.又由, 得,从而.综上可知()构造函数g(x)=-f(x)= , 0xg(0)=0.因为,
5、所以,即0,从而() 因为 ,所以, , 所以 , 由()知:, 所以= ,因为, n2, 所以 = .由 两式可知: .考点四：数列与函数、向量等的联系例题8.已知函数f(x)=，设正项数列满足=l， (1)写出、的值; (2)试比较与的大小，并说明理由；(3)设数列满足=，记Sn=证明：当n2时,Sn(2n1)解：(1)，因为所以（2）因为所以,因为所以与同号，因为，即（3）当时，所以，所以例题9.在平面直角坐标系中，已知三个点列An，Bn，Cn，其中 ，满足向量与向量共线，且点（B，n）在方向向量为（1，6）的线上 （1）试用a与n表示； （2）若a6与a7两项中至少有一项是an的最小值
6、，试求a的取值范围。分析：第（1）问实际上是求数列的通项；第（2）问利用二次函数中求最小值的方式来解决。解：（1）又Bn在方向向量为（1，6）的直线上， （2）二次函数是开口向上，对称轴为的抛物线又因为在a6与a7两项中至少有一项是数列an的最小项，对称轴例题10.已知，若数列an 成等差数列. （1）求an的通项an; （2）设 若bn的前n项和是Sn，且解：解：设2，f(a1), f(a2), f(a3),，f(an),2n+4的公差为d，则2n+4=2+(n+21)dd=2, （2）， 例题11. 已知数列中， （1）求； （2）求数列的通项； （3）设数列满足，求证：解：（1）（2） 得即：，所以所以（3）由（2）得：，所以是单调递增数列，故要证：只需证若，则显然成立若，则所以因此：所以所以
