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1、2012年高三理科数学试卷（两校联考）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1已知函数的定义域为，的定义域为，则等于（ ）ABCD2若复数是纯虚数（是虚数单位，是实数），则等于（ ）ABCD3若函数，则是（ ）A最小正周期为的奇函数B最小正周期为的奇函数C最小正周期为的偶函数D最小正周期为的偶函数4已知向量，若与垂直，则等于（ ）ABCD5曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）ABCD6已知某本个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：），可得这个几何体的体积是（ ）ABCD7设、分别是双曲线的左、右焦点，若点在双曲线上，且，则等于（ ）ABCD8一个四棱锥和一个三
2、棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等。设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、，则等于（ ）ABCD二、填空题（本大题共7小题，每小题5分，共30分，其中913题为必做题，14、15为选做题，考生只选做一题）9在某项测量中，测量结果服从正态分布，若在内取值的概率为，则在内取值的概率为 。10设变量，满足约束条件，则目标函数的最大值为 。11已知函数 的图象恒过定点，则点的坐标为 。12某校安排5个班到4个工厂进行社会实践，每个班去一个工厂，每个工厂至少安排一个班，不同的安排方法共有 种。（用数字作答）13设是定义在
3、上的奇函数，且当时，。若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是 。14如右图，点是圆上的点，且，则圆的面积等于 15以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴，并在两种坐标系中取相同的长度单位。已知直线的极坐标方程为，它与曲线（为参数）相交于两点A和B，则|AB|=_.三、解答题（本题6小题，共80分，解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤）16（12分）设是公比大于1的等比数列，为数列的前项和。已知，且，构成等差数列。求数列的通项；令，求数列的前项和。参加人数活动次数17（14分）某中学号召学生在今年春节期间至少参加一次社会公益活动（以下简称活动）。该校合唱团共有100名学生，他们参加活
4、动的次数统计如图所示。求合唱团学生参加活动的人均次数；从合唱团中任选两名学生，求他们参加活动次数恰好相等的概率；从合唱团中任选两名学生，用表示这两人参加活动次数之差的绝对值，求随机变量的分布列及数学期望。18（14分）如图所示，在四面体中，已知,，是线段上一点，点在线段上，且。证明；求二面角的平面角的正弦值。19（12分）如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定的方向匀速直线航行。当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，当甲船航行分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？20（14分）如图，矩形的两条对角线相
5、交于点，边所在直线的方程为，点在边所在直线上。求边所在直线的方程；求矩形外接圆的方程；若动圆过点，且与矩形的外接圆外切，求动圆的圆心的轨迹方程。21（14分）设函数，其中。当时，判断函数在定义域上的单调性；求函数的极值点；证明对任意的正整数，不等式成立。2012年高三理科数学测试答题卷题号一二三总分161718192021得分题号12345678答案一、选择题二、填空题9： 10： 11： 12： 13： （ ） 16、（共12分）三、解答题17、（共14分）18、（共14分）19、（共12分）20、（共14分）21、（共14分）2012年高三理科数学试卷参考答案一、选择题 18：CADCDB
6、BB二、填空题 9：0.8 10：11 11： 12：240 13： 14： 15：三、解答题16解：由已知得：，解得 （2分）设数列的公比为，由得，又可知，即解得（4分）由题意得，（5分）故数列的通项公式为（6分）由于由得 （8分）又 是等差数列（10分） （12分）17解：由图可知，参加活动1次、2次和3次的学生人数分别10、50和40.该合唱团学生参加活动的人均次数为（2分）从合唱团中任选两名学生，他们参加活动次数恰好相等的概率为（4分）从合唱团中任选两名学生，记“这两人中一人参加1次活动，另一人参加2次活动”为事件A，“这两人中一人参加2次活动，另一人参加3次”为事件B，“这两人中一人
7、参加1次活动，另一人参加3次活动”为事件C。 易知（6分） （8分） （10分）012P的分布列（12分）的数学期望：（14分）18证明：，（2分）而，故（5分）又已知，。（7分）解：，同理，（9分），由知，（10分）是二面角的平面角（11分）（13分）。（14分）19解：如图，连结，由已知得，（3分）又是等边三角形（4分）（5分）由已知（7分）在中，由余弦定理得，即（10分）因此乙船的航行速度的大小为（11分）答：乙船每小时航行海里。（12分）20解：因为边所在直线的方程为，且与垂直所以直线的斜率为。（1分）又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为，即。（4分）由，解得点的坐标为（5分）因为
8、矩形两条对角线的交点为所以为矩形外接圆的圆心又（7分）从而矩形外接圆的方程为。（8分）因为动圆过点，所以是该圆的半径又因为动圆与圆外切所以即（10分）故点的轨迹是以为焦点，实轴长为的双曲线的左支（11分）因为实半轴长，半焦距所以虚半轴长（13分）从而动圆的圆心的轨迹方程为。（14分）注：没注明条件扣1分。21解：由题意知的定义域为（1分），设，其图象的对称轴为，当时，即在上恒成立当时，当时函数在定义域上单调递增。（3分）由得当时函数无极值点（4分）时，有两个相同的解时，时，函数在上无极值点（5分）当时，有两个不同解，时，即时，、随的变化情况如下表：极小值由此表可知时，有唯一极小值点；（7分）当时，此时，、随的变化情况如下表：极大值极小值由此表可知：时，有一个极大值点和一个极小值点；（9分）综上所述：时，有唯一极小值点；时，有一个极大值点和一个极小值点；时，无极值点。（10分）当时，函数，令函数，则当时，函数在上单调递增，又时，恒有即恒成立（12分）故当时，有（13分）对任意正整数，取则有，故结论成立。（14分）第1页（共14页）
