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1、区间套定理是错误的马昕东内容提要 本文通过在区间0,1上的一个插值证明了区间套定理在n fg时至少存在两个点。 关键词 闭区间套 区间套定理 极限引 言区间套定理在数学分析理论中，占有十分重要的地位，它是其它许多著名定理的理论基础。为 了恰当地分析这个定理，在这里依然引用闭区间套这个概念和区间套定理。定义 设有一闭区间列 ,b 具有如下性质，n na, b ,n+1n+1n = 1,2,3,.ii. lim（b a ） = 0nnnfg则称这个区间列监,b 为闭区间套，或称区间套。n n区间套定理 设监,b 是一区间套，则存在唯一的点，使得 e la ,b n nn n（证明过程略）那么这个定
2、理错在哪里，错在后面的结论。下面用一个简单的例子来说明这个问题。(n e N*)（在下面的证明中n都是正整数），那么是一个闭区间套。由区间套定理可知：当n fg时，存在唯一的点0e0,11n _用n -1个点把b,1均分，则每段的长度为丄，取最左侧这一段为闭区间0,1，若闭区间套定理成n只有一个点0,也就是说：存在正整数c （因为在x的正半轴定存在一个数c，使得闭区间11上只能是正数），使得-二0。否则，若-H 0（或者说在x的正半轴上是不存在一个正数的倒数为0）,则 cc立,1内至少存在两个点0和。这蕴涵着区间套定理是不成立的。（注意：这里的c一定是自然数，否c则在自然数集内不存在使闭区间套
3、定理成立的数，即闭区间套定理不能成立。事实上如果存在自然数能够 使闭区间套定理成立，那么则可得出区间b,1是可数集合）01 r 1 21 r 2 31 ,一 ,c现在把b,1分成成立的数，而且满足二1,1 ,这样c个区间；在这里，c是使区间套定理 c1c121|32|_ c 11-0二=1 ,cccclcclcc如果区间套定理成立，则c-0 = - =0,那么根据勒贝格测度可知:即有0,1 = m0 =o,c0,11=0。 cr 1 2 -r 2 3 -(c 1 J+ m+ m+ m,1Vc cVc cV c J又根据实变函数理论中的勒贝格测度的性质可知：可数个零测度集的并仍为零测度集，即有b
4、,iL得到0三1,相矛矛盾。形象地说：b,i这段线段是由点组成的，但是构成线段0,1的这些点长度加起来的总长度为0。通过上面的推导不难看出：不是区间套定理错了，就是勒贝格测度理论错了。但是，不论哪一部分 错了，对于数学理论都是灾难性的。区间套定理和勒贝格测度都是数学理论的基石，许多理论都是以它 们为基础建立起来的，而且在许多方面都有重要应用。但在此我们不讨论勒贝格测度问题，只对区间套定理进行质疑。 仍取区间0,1，用n 1个点把0,1等分成n等份，则有0,1=u令又取1 12n,1.显然，当i = 2,n时，1是i*的真子集，即1比1*少一个点，而且对于n取任何自然数恒成立,i iT i 1此
5、时取n = c，c是使区间套定理成立的数，则有1收敛成一个点0。1 1又取一个平移变换y = x +匸-，当x e 1 , i = 2, 3,，c时，可得到1 *,1 *,1 *。那么，c123c1 *,1 ；，,1 *也都收缩成一个点，是单点集。由前面的证明可知：当c i 2时，1是1 *的真子集，由 真子集的定义，1只能是空集，即有0,1=1 U1 UU1 =1 U =1 = 0。显然相矛盾,/* 12c11至少存在两个点（或者两个值）。1所以，闭区间套定理是错误的。闭区间套定理是否成立的实质在于：是否存在这样的一个自然数 使得它的倒数为0?虽然而在华东师范大学数学系编，程其襄教授主编，众
6、多大学参与编写的数学分析（书号13010.0524） 第199页举出例证如下（编者的话附在后面）：注意：定理2的结论要求区间套定理的各个区间是闭区间时，才能成立。比如开区间列 然前一个包含后一个，而且limf丄01 = 0，但它不存在一个公共点属于所有的开区间。ns Vn丿还有东北师范大学刘玉琏，傅沛仁两位教授编写的数学分析讲义书号13010.0674）地120页也有类似的表述。=0,1然而令人可笑的是：恰恰是这个例证说明了闭区间套定理不能成立。证明如下: 若上面的例证成立，则有(1、(1 n0,=9同样n-_,0n=1V n丿n=1V n丿我们知道:则 n o,=仃cun=1n=_V n丿n
7、丿nn=1也n3l n=1U 申0，只存在唯一的一个点0属于它,这说明：当n Ta时，半开半闭区间套0, IL n丿同样n-丄,1n=1 V nn=1 -=9 U 0U 9 = 0n1|=1n丿n0n=1这说明开区间套qtStn= 1当n Ta时，只存在唯一的一个点o属于它。（此例说明实变函数论所运用的数列收敛方法是正确的，见在实变函数论中数列收敛运用的是开区间套而不是闭区间套）现在我们再分析上面的例证丄 1A 一 .=n 0二=n x|0 x !-nn 丿 n=111若lim = 0，那么x既小于0又大于0是不能成立的。事实上在此式子中蕴涵着一的极限为最小的 nn正数，也就是说：x只有小于最小的正数并且大于0时才不存在。这个例证恰恰说明闭区间套定理是错误的。编者引用此例不但没有说明闭区间套定理的真实性，反而 却选用了一个自相矛盾的例子。参考文献1. 华东师范大学数学系编 数学分析1981年6月2. 刘玉琏 傅沛仁数学分析讲义 高等教育出版社1981年7月n=1 VnT8
