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1、1）12+22+32+.+n2=n(n+1)(2n+1)/6从左边推到右边数学归纳法可以证也可以如下做 比较有技巧性n2=n(n+1)-n12+22+32+.+n2=1*2-1+2*3-2+.+n(n+1)-n=1*2+2*3+.+n(n+1)-(1+2+.+n)由于n(n+1)=n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)/3所以1*2+2*3+.+n(n+1)=1*2*3-0+2*3*4-1*2*3+.+n(n+1)(n+2)-(n-1)n(n+1)/3前后消项=n(n+1)(n+2)/3所以12+22+32+.+n2=n(n+1)(n+2)/3-n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)
2、/3-1/2=n(n+1)(2n+1)/6=n(n+1)(2n+1)/62）12+23+34+.+n（n+1）=？设n为奇数, 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)= =(1*2+2*3)+(3*4+4*5)+.+n(n+1) =2(22+42+62+.(n-1)2)+n(n+1) =8(12+22+32+.+(n-1)/22)+n(n+1) =8*(n-1)/2(n+1)/2n/6+n(n+1) =n(n+1)(n+2)/3 设n为偶数, 请你自己证明一下！ 所以， 1*2+2*3+3*4+.+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3设an=n（n+1）=n2+nSn=12+23+34+
3、.+n（n+1）=(12+22+32+n2)+(1+2+3+n)=n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2=n(n+1)(n+2)/3(n+1)*n*(n+1)=(n2-1)*n=n3-n数列求和的几种方法1. 公式法：等差数列求和公式: Sn=n(a1+an)/2=na1+n(n-1)d/2 等比数列求和公式： Sn=na1(q=1)Sn=a1(1-qn)/(1-q)=(a1-anq)/(1-q) (q1)2.错位相减法适用题型：适用于通项公式为等差的一次函数乘以等比的数列形式 an 、 bn 分别是等差数列和等比数列. Sn=a1b1+a2b2+a3b3+.+anbn 例如： an=
4、a1+(n-1)d bn=a1q(n-1) Cn=anbn Tn=a1b1+a2b2+a3b3+a4b4.+anbn qTn= a1b2+a2b3+a3b4+.+a(n-1)bn+anb(n+1) Tn-qTn= a1b1+b2(a2-a1)+b3(a3-a2)+.bnan-a(n-1)-anb(n+1) Tn(1-q)=a1b1-anb(n+1)+d(b2+b3+b4+.bn) =a1b1-anb1qn+db21-q(n-1)/(1-q) Tn=上述式子/(1-q)3.倒序相加法这是推导等差数列的前n项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n个(
5、a1+an) Sn =a1+ a2+ a3+. +an Sn =an+ a(n-1)+a(n-3). +a1 上下相加 得到2Sn 即 Sn= （a1+an)n/24.分组法有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. 例如：an=2n+n-15.裂项法适用于分式形式的通项公式，把一项拆成两个或多个的差的形式，即an=f(n+1)f(n)，然后累加时抵消中间的许多项。 常用公式： （1）1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （2）1/(2n-1)(2n+1)=1/21/(2n-1)-1/(2n+1) （3
6、）1/n(n+1)(n+2)=1/21/n(n+1)-1/(n+1)(n+2) （4）1/(a+b)=1/(a-b)(a-b) （5） nn!=(n+1)!-n! 例 求数列an=1/n(n+1) 的前n项和. 解：an=1/n(n+1)=1/n-1/(n+1) （裂项） 则Sn =1-1/2+1/2-1/3+1/4+1/n-1/(n+1)（裂项求和） 1-1/(n+1) n/(n+1) 小结：此类变形的特点是将原数列每一项拆为两项之后，其中中间的大部分项都互相抵消了。只剩下有限的几项。 注意： 余下的项具有如下的特点 1余下的项前后的位置前后是对称的。 2余下的项前后的正负性是相反的。6.数
7、学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，有如下步骤： （1）证明当n取第一个值时命题成立； （2）假设当n=k（kn的第一个值，k为自然数）时命题成立，证明当n=k+1时命题也成立。 例：求证：1234 + 2345 + 3456 + + n(n+1)(n+2)(n+3) = n(n+1)(n+2)(n+3)(n+4)/5 证明： 当n=1时，有： 1234 + 2345 = 2345(1/5 +1) = 23456/5 假设命题在n=k时成立，于是： 1234 + 2345 + 3456 + + k(k+1)(k+2)(k+3) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5 则当
8、n=k+1时有： 1234 + 2345 + 3456 + + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = 1234 + 234*5 + 3456 + + k(k+1)(k+2)(k+3) + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = k(k+1)(k+2)(k+3)(k+4)/5 + (k+1)(k+2)(k+3)(k+4) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)*(k/5 +1) = (k+1)(k+2)(k+3)(k+4)(k+5)/5 即n=k+1时原等式仍然成立，归纳得证7.通项化归 先将通项公式进行化简，再进行求和。 如：求数列1，1+2，1+2+3，1+2+3+4,的前n项和。此时先将an求出，再利用分组等方法求和。8.并项求和：例：12+34+56+（2n-1）-2n （并项） 求出奇数项和偶数项的和，再相减。
