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1、高等数学A教学大纲（工学类高中生源本科）课程名称：高等数学/Advanced Mathematics 课程编码：0702002106，0702002206 课程类型：公共基础课总学时数/学分数： 192/ 12 实验(上机)学时：0适用专业：汽车、电子、自动化、计算机、机械 先修课程：无 制订日期： 2005年11月一、课程性质、任务和教学目标高等数学A是高等职业技术师范院校各专业学生必修的重要基础理论课，是学习现代科学技术必不可少的基础知识，应用非常广泛，是为培养社会主义现代化建设所需要的高质量专门人才服务的。通过本课程的学习，学生能够达到以下目标：1、 使学生能掌握函数和极限的基本内容和思
2、想精华；2、 使学生能掌握一元函数微积分学的基本内容、重要思想和简单计算；3、 使学生能学会向量代数与空间解析几何、多元函数微积分学等的基本内容和计算；4、 学生通过学习能为后继课程和进一步获取数学知识奠定必要的数学基础；5、 通过学习逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力和基本运算能力。二、教学内容与要求教学内容教学要求第一章 函数与极限1函数2极限3无穷小量与无穷大量4无穷小量的比较5连续函数的运算6函数的连续性与间断点理解：函数的概念及函数的特性；复合函数和反函数的概念；极限的概念；无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念；无穷小量和极限的关系；函数连续和间断的概念；反函数与复合函数的连续
3、性；闭区间上连续函数的性质(介值定理，最大最小值定理)。掌握：初等函数的概念；极限的保号性定理；极限四则运算法则；无穷小量与无穷大量的关系；高阶、同阶、等阶、低阶无穷小量的概念；用等价无穷小的代换求极限的方法；连续函数的四则运算。熟悉：基本初等函数的性质和图形；两个重要极限。了解：极限存在的夹逼原理和单调有界准则； 学会：应用两个重要极限求极限；判别间断点的类型会；利用介值定理和最大最小定理证明简单的命题；第二章 导数与微分1导数的概念2导数运算3高阶导数4微分理解：导数的概念、几何意义；函数可导与连续的关系；微分的概念及几何意义；高阶导数的概念；掌握：复合函数的求导法；隐函数的求导法；参数方
4、程所确定的函数的求导法；微分运算法则；熟悉：导数的四则运算法则；导数的基本公式；微分基本公式；了解：反函数的导数；微分基本公式在近似运算中的应用；学会：利用定义求函数的导数；一般函数高阶导数的计算。第三章 中值定理与导数应用1中值定理2LHospital法则3泰勒(Taylor)定理4函数的单调性与极值5极值的应用6曲线的凹凸性及拐点7函数图形的描绘8曲率理解：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理 ；函数极值的概念；曲线的渐近线的概念；弧微分的概念；函数凹凸性及拐点的概念；掌握：Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy中值定理；掌握LHospital法则
5、；函数单调性的判别法；和求极值的方法；函数凹凸性的判别法及拐点的求法；函数图形描绘的方法； 了解：Taylor中值定理及Taylor公式；曲率及其计算公式；学会：应用中值定理证明简单的命题；应用LHospital法则求极限；求简单函数的Taylor公式；求解较简单的最大值和最小值的应用问题；用导数判断函数图形的凹凸性，会求拐点；描绘函数的图形(包括求曲线的水平和铅直渐进线)；计算曲率和曲率半径第四章 不定积分1不定积分的概念与性质2不定积分的计算3某些特殊类型的积分理解：原函数与不定积分的概念与性质；掌握：不定积分的基本公式；有理函数及三角函数有理式的积分；熟悉：第一、第二换元法和分步积分法；
6、学会：求简单无理函数的积分；第五章 定积分1定积分的概念2微积分基本公式3定积分的计算4反常积分理解：定积分的概念、性质及几何意义；变上限积分函数及其求导；反常积分的概念及反常积分的换元法和分步积分法；掌握：积分中值定理；牛顿(Newton)莱布尼兹(Leibniz)公式；定积分的换元法和分步积分法；了解：定积分问题的引入；可积函数类；学会：计算两类反常积分；第六章 定积分的应用1定积分的元素法2几何应用3物理应用理解：定积分的元素法掌握：计算平面图形面积的方法；求空间几何体的体积(旋转体、平面截面面积为已知的几何体)；求平面曲线的弧长；了解：计算功、水压力、引力的方法；第七章 空间解析几何与
7、向量代数1空间直角坐标系2向量3曲面及其方程4空间曲线及其方程理解：向量的概念；向量在轴上的投影、投影定理；曲面方程的概念；旋转曲面、柱面的概念及其方程；掌握：空间两点间的距离公式；向量的运算(线性运算、数量积、向量积)；向量在坐标轴上的投影；向量在坐标轴上的分向量、向量的坐标；向量的模与方向余弦的坐标表示；两个向量垂直、平行的条件；两平面间的夹角；两直线的夹角、直线与平面的夹角；熟悉：空间直角坐标系；平面及其方程（点法式方程、一般方程）；空间直线及其方程（一般方程、对称式方程、参数方程）；了解：常用二次曲面（球面、椭球面双曲面等）的方程及其图形；空间曲线的参数方程和一般方程；曲面的交线在坐标
8、平面上的投影；第八章 多元函数微分学及其应用1多元函数的概念2偏导数3全微分4方向导数与梯度5微分法在几何上的应用6多元函数极值理解：多元函数的概念；偏导数的定义及其几何意义；高阶偏导数的概念；全微分的概念及其几何意义；方向导数与梯度的概念；曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线；多元函数极值与条件极值的概念掌握：偏导数的计算方法；复合函数偏导数的求法；隐函数的求导法则（一个方程、方程组的情形）；多元函数的微分法；拉格朗日乘数法；了解：二元函数的极限与连续性的概念；多元连续函数的运算以及有界闭区域上连续函数的性质；一阶全微分形式的不变性；条件极值的概念； 学会：方向导数与梯度的计算；求空间曲线
9、的切线和法平面及曲面的切平面与法线的方程；求多元函数的极值；求解一些较简单的最大值和最小值问题；第九章 重积分1重积分的概念 2重积分的计算方法3二重积分的应用 理解：重积分的概念、性质；掌握：二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)；三重积分的计算方法(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)；曲面面积的计算方法；了解：二重积分、三重积分的几何意义；学会：求平面薄片的重心、转动惯量、平面薄片对质点的引力；第十章 曲线积分与曲面积分1曲线积分2格林(Green)公式3曲面积分4高斯（Gauss）公式与斯托克斯(Stokes)公式 理解：两类曲线积分的概念、性质及相互间关系；两类曲面积分的概念、性质及相互间
10、的关系；掌握：两类曲线积分的计算方法；格林(Green)公式及平面曲线积分与路径无关的条件；两类曲面积分的计算方法；高斯公式与斯托克斯(Stokes)公式；了解：通量与散度、环流量与旋度的概念第十一章 无穷级数1常数项级数的概念2常数项级数收敛法3函数项级数 4Taylor级数 5Fourier级数 理解：常数项级数收敛、发散以及和函数的概念；正项级数的比较审敛法；交错级数的莱布尼兹（Leibuniz）定理；条件收敛和绝对收敛的概念；函数项级数的收敛域及和函数的概念；掌握：几何级数和p-级数的收敛性；正项级数的比值审敛法；幂级数收敛域的求法及其在收敛区间内的基本性质；函数展开为傅里叶(Four
11、ier)级数、正弦或余弦级数；熟悉：无穷级数基本性质及收敛的必要条件；了解：Taylor级数的概念及其收敛条件；三角函数系的正交性；周期为2L的周期函数展开为傅里叶(Fourier)级数学会：判别无穷级数绝对收敛与条件收敛；将一般函数展开成幂级数； 第十二章 微分方程1微分方程的概念2一阶微分方程3可降解的高阶微分方程 4高阶线性微分方程5二阶常系数线性微分方程 理解：微分方程、解、阶、通解、初始条件和特解等概念；高阶线性微分方程解的结构；掌握：变量可分离的方程、齐次方程、一阶线性方程的解法；二阶常系数齐次和非齐次线性微分方程的解法；了解：常数变易法；常系数线性方程组及尤拉(Euler)方程的
12、解法；幂级数解法及勒让德(Legendre)函数；学会：解齐次方程和伯努利(Bernoulli)方程解全微分方程，可降解的高阶微分方程的解法； 三、学时分配表内 容学 时习题课总学时第一章 函数与极限14-16216-18第二章 导数与微分16218第三章 中值定理及导数应用16218第四章 不定积分12214第五章 定积分14216第六章 定积分应用6-828-10第七章 向量代数与空间解析几何16218第八章 多元函数微分学及其应用16218第九章 重积分12214第十章 曲线积分与曲面积分16218第十一章 无穷级数16-18218-20第十二章 微分方程14216合 计168-1742
13、4192-198五、教学方法与手段本门课采用完全课堂讲授的教学方式，并辅之以适当的习题课便于对基本概念和理论的理解和掌握，使学生能通过高等数学A的学习，具有一定的抽象推理能力、逻辑推理能力及基本运算能力。 六、考核方式本课程为考查课。期末考试占总成绩的80%，平时作业、小测验占总成绩的20，及格以上者可获得相应学分。七、教材及参考书教材：高等数学(第五版)上、下册，同济大学应用数学系主编，高等教育出版社参考书：1. 微积分上、下册，同济大学应用数学系编，高等教育出版社。 2. 工科数学分析基础上、下册，马知恩 王绵森主编，高等教育出版社。 3. 高等数学例题与习题 同济大学高等数学教研室编，同济大学出版社。
