二阶微分方程解法知识讲解

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1、二阶微分方程解法第六节二阶常系数齐次线性微分方程教学目的：使学生掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，了解二阶常系数非齐次线性微分方程的解法教学重点：二阶常系数齐次线性微分方程的解法教学过程：一、二阶常系数齐次线性微分方程二阶常系数齐次线性微分方程方程y py qy 0称为二阶常系数齐次线性微分方程其中p、q均为常数如果yi、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么y Ciyi C2y2就是它的通解我们看看 能否适当选取r使y erx满足二阶常系数齐次线性微分方程为此将y erx代入方程y py qy 0w(r2 pr q)ex 0由此可见只要r满足代数方程r2 pr q 0函数y

2、 erx就是微分方程的解特征方程方程r2 pr q 0叫做微分方程y py qy 0的特征方程特征方程的两 个根ri、r2可用公式p Jp2 4qri,22求出特征方程的根与通解的关系(1)特征方程有两个不相等的实根ri、r2时 函数yi er1x、y er2x是方程的两个线性无关的解这是因为qx函数y1er1x、y2er2x是方程的解 又之为e(r1 r2)x不是常数yer2x因此方程的通解为yC1erix C2er2x(2)特征方程有两个相等的实根ri r2时 函数yi er1x、y xer1x是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解这是因为yi e1x是方程的解又(xer1x)p(

3、xer1x) q(xer1x) (2r1 xre p(1 xri)er1x qxer1xer1x(2ri p) xer1x(ri2 pri q) 0r,x所以y2 xerix也是方程的解 且些 当父x不是常数 yierix因此方程的通解为y Gerix C2xerix(3)特征方程有一对共腕复根ri, 2i时函数y e( i )x、y e( i*是微分方程的两个线性无关的复数形式的解函数y excos x、y exsin x是微分方程的两个线性无关的实数形式的解函数yi e( i*和丫2 e( i)x都是方程的解 而由欧拉公式 得yi e( i )x e x(cos x isin x) y2

4、e( i )x e x(cos x isin x)y1y22e xcos x excos x 2(yi y2)yiy22ie xsin x e xsin x 2-(yi y2)故e xcos x、y2 e xsin x也是方程解可以验证yi excos x、乎e xsin x是方程的线性无关解因此方程的通解为y e x(Cicos x C2sin x )求二阶常系数齐次线性微分方程y py qy 0的通解的步骤为第一步 写出微分方程的特征方程r2 pr q 0第二步 求出特征方程的两个根ri、r2第三步 根据特征方程的两个根的不同情况写出微分方程的通解例1求微分方程y 2y 3y 0的通解解所

5、给微分方程的特征方程为r2 2r 3 0 即(r 1)(r 3) 0其根ri 1 r2 3是两个不相等的实根因此所求通解为y Ciex C2e3x例2求方程y 2y y 0满足初始条件y|x。4、y |x 0 2的特解解所给方程的特征方程为r2 2r 1 0 即(r 1)2 0其根r1 r2 1是两个相等的实根因此所给微分方程的通解为y (C1 C2x)ex将条件y|x 0 4代入通解 得C1 4从而y (4 C2x)e x将上式对x求导得y (C2 4 C2x)ex再把条件y |x 0 2代入上式 得C2 2于是所求特解为x (4 2x)e x例3求微分方程y 2y 5y 0的通解解所给方程

6、的特征方程为 r2 2r 5 0特征方程的根为门1 2i r2 1 2i是一对共腕复根因此所求通解为y ex(Cicos2X C2sin2x)n阶常系数齐次线性微分方程方程y(n) piy(n 1) p2 y(n 2)pn 1y pny 0称为n阶常系数齐次线性微分方程其中p1 p2pn1 pn都是常数二阶常系数齐次线性微分方程所用的方法以及方程的通解形式可推广到n阶常系数齐次线性微分方程上去引入微分算子D及微分算子的n次多项式L(D)=Dn p1Dn 1 p2 Dn 2pn 1D pn则n阶常系数齐次线性微分方程可记作(Dn p1Dn 1 p2 Dn2pn 1D pn)y 0 或 L(D)y

7、 0注 D 叫做微分算子 D0y y Dy y D2y yD3y yDny y(n)分析令y erx则L(D)y L(D)erx (rn p1rn 1P2 rn 2pn 1r pn)erx L(r)erx因此如果r是多项式L(r)的根 则y erx是微分方程L(D)y 0的解n阶常系数齐次线性微分方程的特征方程L(r) rn p1rn 1 p2 rn 2pn 1r pn 0称为微分方程L(D)y 0的特征方程特征方程的根与通解中项的对应单实根r对应于一项Cerx一对单复根r1 2 i对应于两项 ex(C1cos x C2sin x)k重实根r对应于k项erx(C1 C2xCkxk 1)一对k重

8、复根r1 2 i对应于2k项e x(C1 C2xCkxk 1)cos x ( D1 D2xDkxk 1)sin x例4求方程y(4) 2y 5y 0的通解解这里的特征方程为r4 2r3 5r2 0 即 r2(r2 2r 5) 0它的根是ri r2 0和r3 4 1 2i因此所给微分方程的通解为y Ci C2x ex(C3cos2x C4sin2x)例5求方程y(4)4y 0的通解 其中 0解这里的特征方程为r44 0、2(1 i)它的根为 ri,2i)3,4因此所给微分方程的通解为ye2 (Cicosx C2sinx) e 2 (C3cos x C4sinx)、222., 22二、二阶常系数非

9、齐次线性微分方程简介二阶常系数非齐次线性微分方程方程y py qy f(x)称为二阶常系数非齐次线性微分方程其中p、q是常数二阶常系数非齐次线性微分方程的通解是对应的齐次方程的通解y Y(x)与非齐次方程本身的一个特解y y*(x)之和y Y(x) y*(x)当f(x)为两种特殊形式时方程的特解的求法一、f(x) Pm(x)ex 型当f(x) Pm(x)ex时可以猜想方程的特解也应具有这种形式因此设特解形式为y* Q(x)e x将其代入方程得等式Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)(1)如果不是特征方程r2 pr q 0的根则2 P q 0要使上式成立 Q(x

10、)应设为m次多项式Qm(x) boxm bixm 1bm ix bm通过比较等式两边同次项系数可确定b0 bibm并得所求特解y* Qm(x)e x(2)如果是特征方程r2 pr q 0的单根则2 P q 0但2 p 0要使等式Q (x) (2 p)Q (x) ( 2 p q)Q(x) Pm(x)成立Q(x)应设为m 1次多项式Q(x) xQm(x)Qm(x) b0xm bixm 1bm ix bm通过比较等式两边同次项系数可确定b0 bibm并得所求特解y* xQm(x)ex(3)如果是特征方程r2 pr q 0的二重根则2 P q 0 2 p 0要使等式Q (x) (2 p)Q (x) (

11、 2 p q)Q(x) Pm(x)成立Q(x)应设为m 2次多项式Q(x) /Qm(x)Qm(x) b0xm bixm 1bm ix bm通过比较等式两边同次项系数可确定b0 bibm并得所求特解y* x2Qm(x)e x综上所述我们有如下结论如果f(x) Pm(x)ex则二阶常系数非齐次线性微分方程 y py qy f(x)有形如y* xk Qm(x)e x的特解 其中Qm(x)是与Pm(x)同次的多项式 而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的的重根依次取为0、1或2例1求微分方程y 2y 3y 3x 1的一个特解解这是二阶常系数非齐次线性微分方程且函数f(x)是Pm(x)

12、e x型(其中Pm(X)3X 10)与所给方程对应的齐次方程为y 2y 3y 0它的特征方程为r2 2r 3 0由于这里0不是特征方程的根 所以应设特解为y* box bi把它代入所给方程得3b0x 2b。3bi 3x 1比较两端x同次幕的系数得3b0 3彳 3b0 3 2b0 3bi 12b0 3bl 1由此求得b01bli于是求得所给方程的一个特解为3*1y* x - y3例2求微分方程y 5y 6y xe2x的通解解所给方程是二阶常系数非齐次线性微分方程 且f(x)是Pm(x)e x型(其中Pm(x) x2)与所给方程对应的齐次方程为y 5y 6y 0它的特征方程为r2 5r 6 0特征

13、方程有两个实根r1 2 r2 3于是所给方程对应的齐次方程的通解为Y C1e2x C2e3x由于2是特征方程的单根 所以应设方程的特解为y* x(b0x b1)e2x把它代入所给方程得2b0x 2b0 bi x比较两端x同次幕的系数得2bb 12bo bi 02b0 1 2bo bi 0由此求得bo2 bi1于是求得所给方程的一个特解为1y* x( 2x 1)e2x从而所给方程的通解为y Ge2, C2e3x 1(x2 2x)e2x提示y* x(box b1)e2x (box2 b1x)e2x(box2 b1x)e2x (2box b1)(box2 b1x) 2e2x(box2 b1x)e2x

14、2bo 2(2box b1) 2 (box2 b1x) 22e2x y* 5y* 6y* (box2 b1x)e2x 5(box2 b1x)e2x 6(box2 b1x)e2x2bo 2(2box b1) 2(box2b1x)22e2x5(2 boxb1)(box2b1x)2e2x6(box2b1x)e2x2bo 4(2box b1) 5(2box b1)e2x 2box 2bo b1e2x方程 y py qy e xPi (x)cos x Pn(x)sin x的特解形式应用欧拉公式可得x i xe-2iexPi(x)cos x Pn(x)sin x ai x i xiexP(x)e2e Pn(x)eiPn(x)e( i )x2P(x) iPn(x)e( i )x 2P(x)P(x)e( i )x P(x)e( i )x其中 P(x) 2(PPJ) P(x) 2(PPni)而 m maxl n设方程y py则 %* xkQm(x)e(qy P(x)e( i )x 的特解为 y1* xkQm(x)e( i )xi)必是方程y py qy P(x)e( i )的特解其中k按i不是特征方程的根或是特征方程的根依次取0或1于是方程 y py qy e xPi(x)cos x Pn(x)sin x的特解为y* xkQm(x)e( i )x xkQm(x)e( i )xxk