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1、一个数学系学生的数学哲学数学学院 201220190 魏斌数学究竟是什么？古来不同人有不同的见解。恩格斯把数学归纳为“研究现实世界的空间形式和数量关系的科学”。然而时代的发展渐渐扩展了数学的范畴。集合论、抽象代数理论、数理逻辑、对策论、运筹学，拓扑学，神经网络等等近代数学理论，很难被划为是研究数的还是研究形的。而近代数学广泛的与各种学科，诸如生物、经济、计算机等，所结合而产生的各种交叉学科，更难以简单的归入数或形的范畴。按当今的公理理论系统，数学家普遍赞同的对数学的理解是（当然还不是一个标准的定义）：数学是建立在一系列公理基础上，通过严密的逻辑和推理，所得到的结果的理论体系。然而在这一理解/定
2、义，似乎过于注重数学的结论和数学的表现形式，而忽视了数学对于个人思想上的反映和作用。在我看来，数学是一种严密的哲学体系，甚至可以说是一种宗教体系。一如基督教徒对耶稣的崇拜和信仰，数学家对他们所追求事业奉若神明。这种对数和数学的崇拜最显著的体现在Pythagoras学派中。在这个学派里，数学就是神，是创造万物的上帝，而Pythagoras则是神子，是神在这个世界的代言人和先知。Pythagoras学派试图用数学去解释万物：1被看作是万物的起始；2是第一个偶数，是和谐的象征；3是第一个奇数，是冲突的象征；4则是第一个（1以外的）平方数，象征了完美。Pythagoras学派试图用这四个基本的数去解释
3、其他的数和整个世界：1、2、3、4象征了风、水、火、土四种元素，进而组成了世界；10是4个数的和，因而象征了整个世界；5是2与3的和，因而象征了婚姻；正五边形的对角线与边长之比构成黄金分割，成为世上所有美的根源；。当然，Pythagoras学派的形而上学的哲学理论最终被严密的数学客观理性世界所击溃。但对数学的崇拜仍然存在于数学家的思想中。当Pythagoras学派的哲学体系随着第一次数学危机的爆发而轰然倒塌时，数学家仍然对其信仰的神对客观世界的严密性解释而追求。“证明是一个偶像,数学家在这个偶像前折磨自己。” A.Eddington如是说。三次数学危机，恰恰反映了数学家对严密的崇拜因为崇拜，所
4、以不允许其有缺陷。“数学家就是讨厌制造错误的命题。”数学家仍然试图用数学去解释世界，一如他们在Pythagoras时代所做的那样，近代的Leibniz提出了二进制数学，以及这种简易型的数理精神在当代数字化革命中扮演的中心角色。这种改变人类生存方式的简易数理依然是形而上学的。也就是说，它依然是在用一套人工符号的超越框架来规范人生，而不是“道法自然”。只不过，它在两千年的概念形而上学之后又回复到了Pythagoras，让我们又一次感到“数是万物的本原”的深刻而又令人战栗的力量。尤其是在近现代科技大爆发时，数学家对世界的解释更加客观和理性化，但也更加广泛。于是，数学被广泛的运用至各个科技领域。首先是
5、在物理学方面，Newton经典的方程F=ma掀开了数学家寻求客观世界的数学解释的崭新一页。既而数学渐渐成为各种科学的工具乃至基础：微分方程作为反映系统微观机理的工具被应用到化学中；对DNA螺旋结构的预测使生物学渐渐与数学信息理论靠拢而产生生物数学；博弈论在令数学家John Nash获得诺贝尔经济学奖的同时也奠定了其在现代经济学中的基础地位。无论在遥远的宇宙，还是在临近的微小分子，世界总在数学家语言的界定和安排中运转。数学的完备美和严谨美也受到来自其自身和外界的挑战。混沌系统的发现在很大程度上使人们重新审视数学的预测能力，Gdel的不完备性定理则在本质上打击了数学家对万能的数学体系的信任。另一个
6、严峻的挑战则是来自物理学界，量子物理中的测不准原理预示着数学的确定性的不可充分获得。然而数学更倾向于接受这些挑战，并通过人类的智慧去充分理解这些与其曾经的判断标准相左的结果。渐渐的，这种不完备，也被作为数学的完备而严谨的思辩过程，而被接纳到数学的体系中。数学对其本身的思索，引发了一次又一次危机，但数学也正是在对这种危机的解决中不断完善自己的理论体系。第一次数学危机的解决完善了人们对数的认识，第二次数学危机使人们更清晰的了解了无穷的本质。虽然第三次数学危机还没有一个统一的，令数学家们都信服的完美解决方案，但试图解决它的所有已有的努力，都一次次令人们对集合和逻辑的本质有了更深刻的刻画，也使人们能够
7、自信的预见到更多的对集合逻辑的认识。数学与哲学总是紧密的联系在一起的。从第一次数学危机时数学家和哲学家身份的重叠，到第二次数学危机时数学家和哲学家的论战，再到第三次数学危机时数学家和哲学家讨论的交相辉映，数学与哲学总是有千思万缕的联系。数学作为一门自然科学，之所以与诸如物理、化学、生物等其他学科不同，而广泛且紧密的与哲学相联系，是因为与物理、化学、生物等学科单纯的追求对客观世界的解释不同，数学也在寻求对数学本身的解释，而成为一种纯思维的产物。无论是数学，还是现在的哲学体系，乃至于有些许唯心的禅学、玄学，都是人类思辩的产物，是人类思维脱离于客观世界的单纯运作的的结晶。即便客观世界不存在，数学仍有
8、其活力。当非欧几何刚刚诞生时，人们惊叹于它的离奇和完美：它对于这个世界显得如此荒谬，却又无从反驳。即便后来人们并未发现其在宇宙广义相对论方面的应用，也不妨碍其作为一个存在且合理的数学分支而吸引数学家的目光。从这个角度上来看，数学家更应该被归为哲学家而不是科学家。正是数学对于其自身基础和过程的不断审视和完善，和其超越时代应用能力数百年的庞大体系，不可避免的吸引了其他学科，使其纷纷道法数学，以便通过数学建立其自身的严密性和逻辑性。而数学也努力使自身适应这种趋势，发展出相应的，非纯粹的理论。最典型的数学应用分支便是数学建模，一种旨在通过数学思维方式解决问题的方法。即便如一直被认为的最纯粹的理论数学分
9、支数论，也找到了其在工程理论中的用武之地一种对计算机编码理论的不可或缺的工具。这种数学在各种学科的应用，最终使数学也渐渐不同于一般的哲学。特别在当代，数学不同于其他哲学体系，更多的积极地参与到应用中，而不是仅仅停留在自身的理论阶段。并行于理论数学的应用数学的广泛发展，使得数学家（特别是理论数学家）思维，科学家应用的模式，有了充分的现实意义和强大的对人类社会发展的推动力。数学的另一个被广泛的提到的具有强大吸引力的是一个抽象的概念数学美。一般而言，数学美的表现主要有七个方面：1.统一性，部分与部分、部分与整体、不同整体之间的协调一致；2.简单性，客观世界统一于一个在繁杂之中概括的简洁明了的规律；3
10、.对称性，数学现象在不同空间位置的相似；4.整齐性，各个数学符号按相同方式排列，同一形状的一致的重复；5.不变性，在各种数学概念中的不变量与不变关系；6.恰当性，事物表现出数量上的适度；7.奇异性，在数学中出现一种新而不平常的关系结构。数学的美集中的体现于它在艺术的应用上。早在Pythagoras时代，就发现了音的和弦与整数比的关系。而每一时代的主流绘画艺术背后都隐藏着一种深层数学结构几何学，在达芬奇那里是讲求透视关系的射影几何学；在毕加索那里是非欧几何学；在后现代主义、纯粹主义那里也许是现在说的分形几何学。虽然艺术家们本身也许并未意识到，但他们对美的敏锐知觉让他们在创作中运用了数学。在数学内
11、部，七种数学美都与典型的与之对应的数学概念或理论，而充分的显示这种美：抽象代数之于统一性，数理逻辑之于简单性，分形几何之于对称性，级数分解之于整齐性，微分之于不变性，数学等式之于恰当性，混沌理论和非欧集合之于奇异性。然而当我们单独的拿出这些个数学概念时，却很难指出这究竟是怎样一种美。如反映了客观世界的统一规律的抽象代数，当我们仅仅拿着一本抽象代数课本时，为何不能理解其中的统一美？显然，唯一的解释是这种统一美并不体现在那一堆复杂的数学符号中。抽象代数的统一美，体现在其创立过程中的思辩过程。这个过程，是对客观世界不同概念之中统一现象和本质的提取和精练，是人类对世界的认识的升华。因而，抽象代数的美，
12、美在其是人类智慧的结晶，而具体体现在一种统一性。这种美是思维的过程，而不是那些往往被我们用来记忆的结果。也许，数学可以这样被定义：数学是建立在一系列公理基础上，通过严密的逻辑和推理，所得到的结果的理论体系，以及在创建这个理论体系时所应用的思维过程。参考书目:1. 杜瑞芝，数学史辞典，山东教育出版社2. 梁宗巨，世界数学通史，辽宁教育出版社3. 韩雪涛，数学悖论与三次数学危机，湖南科学技术出版社4. (美) 莫里斯，古今数学思想，上海科学技术出版社5. Victor J. Katz，A history of mathematics :brief version，机械工业出版社6. (英) 格雷厄姆法米罗，天地有大美：现代科学之伟大方程，上海科技教育出版社7. (德) 康德著，自然科学的形而上学基础，生活读书新知三联书店出版8. 网络资源，数学与形而上学的起源
