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1、第一部分 绪 论第二部分 线性规划与单纯形法1 判断下列说法是否正确：(a)图解法同单纯形法虽然求解的形式不同，但从几何上理解，两者是一致的；(b)线性规划模型中增加一个约束条件，可行域的范围一般将缩小，减少一个约束条件，可行域的范围一般将扩大；(c)线性规划问题的每一个基解对应可行域的一个顶点；(d)如线性规划问题存在可行域，则可行域一定包含坐标的原点；(e)对取值无约束的变量xi，通常令其中，在用单纯形法求得的最优解中有可能同时出现(f)用单纯形法求解标准型的线性规划问题时，与对应的变量都可以被选作换入变量；(g)单纯形法计算中，如不按最小比值原则选取换出变量，则在下一个解中至少有一个基变
2、量的值为负；(h)单纯形法计算中，选取最大正检验数k对应的变量xk作为换入变量，将使目标函数值得到最快的增长；(i)一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，则该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果；(j)线性规划问题的任一可行解都可以用全部基可行解的线性组合表示；(k)若x1，x2分别是某一线性规划问题的最优解，则也是该线性规划问题的最优解，其中1，2可以为任意正的实数；(1)线性规划用两阶段法求解时，第一阶段的目标函数通常写为Xai为人工变量)，但也可写为，只要所有ki均为大于零的常数；(m)对一个有n个变量、m个约束的标准型的线性规划问题，其可行域的顶点恰好为个；(n)
3、单纯形法的迭代计算过程是从一个可行解转转换到目标函数值更大的另一个可行解；(o)线性规划问题的可行解如为最优解，则该可行解一定是基可行解；(p)若线性规划问题具有可行解，且其可行域有界，则该线性规划问题最多具有有限个数的最优解；(q)线性规划可行域的某一顶点若其目标函数值优于相邻的所有顶点的目标函数值，则该顶点处的目标函数值达到最优；(r)将线性规划约束条件的“”号及“”号变换成“”号，将使问题的最优目标函数值得到改善；(s)线性规划目标函数中系数最大的变量在最优解中总是取正的值；(t)一个企业利用3种资源生产4种产品，建立线性规划模型求解得到的最优解中，最多只含有3种产品的组合；(u)若线性
4、规划问题的可行域可以伸展到无限，则该问题一定具有无界解；(v)一个线性规划问题求解时的迭代工作量主要取决于变量数的多少，与约束条件的数量关系相对较小。【答案】1.1(a)(b)(f)(g)(i)(J)(1)(q)(t)正确，(c)(d)(e）(h)(k)(m)(n)(o)(p)（r)(s)(U)(v)不正确。2用图解法求解下列线性规划问题，并指出各问题是具有唯一最优解、无穷多最优解、无界解或无可行解。【答案】(a)唯一最优解，z*=3，x1=12，x2=0；(b)无可行解；(c)有可行解，但max z无界；(d)无穷多最优解，z*=66。表1.6x1x2x3x4X5x3 dx4 2x5 341
5、a 2a1531OOO10OO1cj一zjC1C2OOO【答案】1.25(a)d0，C10，C20，而c10且d43a2；(d)C10，3a20，a10；(f)x5为人工变量，且c10，C2o。3 某战略轰炸机群奉命摧毁敌人军事目标。已知该目标有四个要害部位，只要摧毁其中之一即可达到目的。为完成此项任务的汽油消耗量限制为48000 1、重型炸弹48枚、轻型炸弹32枚。飞机携带重型炸弹时每升汽油可飞行2 km，带轻型炸弹时每升汽油可飞行3 km。又知每架飞机每次只能装载一枚炸弹，每出发轰炸一次除来回路程汽油消耗(空载时每升汽油可飞行4 km)外，起飞和降落每次各消耗100 1。有关数据如表117
6、所示。表117摧毁可能性要害部位离机场距离km每枚重型弹每枚轻型弹12344504805406000.100.200.150.250.O80.160.120.20为了使摧毁敌方军事门标的可能性最大，应如何确定飞机轰炸的方案。要求建立这个问题的线性规划模型。【答案】用i=1，2分别代表重型和轻型炸弹，j=1，2，3，4分别代表四个要害部位，xij为投到第J部位的i种型号炸弹的数量，则问题的数学模型为式中目标函数非线性，但rain z等价于max 1g(1z)，因此目标函数可改写为4 用单纯形法求解下列线性规划(1)【解】单纯形表：C(j)34100R. H. S.RatioBasisC(i)X1
7、X2X3X4X5X402311011/3X501220133/2C(j)-Z(j)341000X242/311/31/301/31/2X50-1/304/3-2/317/3MC(j)-Z(j)1/30-1/3-4/30-4/3X1313/21/21/201/2X5001/23/2-1/215/2C(j)-Z(j)0-1/2-1/2-3/20-3/2最优解：X=（1/2，0，0，0，5/2）；最优值Z3/2 (2) 【解】单纯形表：C(j)21-35000R. H. S.RatioBasisC(i)X1X2X3X4X5X6X7X50153-710030MX603-1110101010X702-6
8、-14001205C(j)-Z(j)21-35000X509/2-11/25/40107/465MX605/21/25/4001-1/4510X451/2-3/2-1/41001/45MC(j)-Z(j)-1/217/2-7/4000-5/4X50320150111-1120MX21515/2002-1/21010X45807/2103-1/220MC(j)-Z(j)-430-2300-173因为730并且ai70(i=1,2,3)，故原问题具有无界解，即无最优解。线性规划的对偶理论与灵敏度分析2.1写出下列线性规划问题的对偶问题：【答案】2.2已知线性规划问题：用单纯形法求解得最终单纯形表如
9、表22所示。(a)求和bl，b2；(b)求表22【答案】【解析】（1）由题意可设初始单纯形表的增广矩阵为最终单纯形表的增广矩阵为对矩阵作初等行变换，使其第4，5列组成单位矩阵由单纯形运算法则可知，所以，（2）由检验数的计算式可知求解上述方程组得：2.3已知线性规划问题：用单纯形法求得最终表如表28所示。表2-3试用灵敏度分析的方法分别判断：(a)目标函数系数C1或c2分别在什么范围内变动，上述最优解不变；(b)当约束条件右端项b1，b2中一个保持不变时，另一个在什么范围内变化，上述最优基保持不变；(c)问题的目标函数变为时上述最优解的变化；(d)约束条件右端项由变为【答案】2.4 已知表24为
10、求解某线性规划问题的最终单纯形表，表中x4，x5为松弛变量问题的约束为形式。表2-4(a)写出原线性规划问题；(b)写出原问题的对偶问题；(c)直接由表24写出对偶问题的最优解。【答案】(a)原线性规划问题如下：(a)原线性规划问题如下：(b)略；(c)对偶问题最优解为Y*=(4，2)。2.5已知线性规划问题：用单纯形法求解时，其最优解见表27。表2-5要求：(a)直接写出上述问题的对偶问题及其最优解。(b)若问题中x2列的系数变为(3，2，3)T，试问表27中的解是否仍为最优解?(C)若增加一个新的变量x4，其相应系数为(2，3，2)T。试问增加新变量后表27中的最优解是否发生变化?【答案】
11、(a)其对偶问题为其最优解为(b)zz系数变化后，对偶问题第(2)个约束将相应变为2y1+3y23，将y1*，一￥2*代入不满足，故原问题最优解将发生变化；(C)相应于新变量x4，因有，故原问题最优解将发生变化。2.6已知线性规划问题：要求：(a)写出它的对偶问题；(b)应用对偶理论证明原问题和对偶问题都存在最优解。【答案】(a)略；(b)容易看出原13题和其对偶问题均存在可行解，据对偶理论，两者均存在最优解。第三部分 运输问题3.6某玩具公司分别生产三种新型玩具，每月可供量分别为l 000件、2000件和2000件，它们分别被送到甲、乙、丙三个百货商店销售。已知每月百货商店各类玩具预期销售量
12、均为1500件，由于经营方面原因，各商店销售不同玩具的赢利额不同(见表36)。又知丙百货商店要求至少供应C玩具l 000件，而拒绝进A种玩具。求满足上述条件下使总赢利额为最大的供销分配方案。表3-6甲乙丙可供量ABC516124810911100020002000解：用16减去利润表上的数字，使之变成一个运输问题。由于表3-6中产大于销，因此需要增添一个假想的销地“丁”，其运价为0，其销售量为500，由于C玩具至少要供给丙百货商店1000件，故将C玩具拆成两个玩具，如表3-6(1)所示。表3-6(1)甲乙丙丁可供量A1112MO1000B08702000C46501000CMM5M1000销量150015001500500利用伏格尔法求出表3-6(1)运输问题的初始解，求解结果见表3-6(2)。甲乙丙丁可供量A5005001000B15005002000C5005001000C10001000销量150015001500500利
