《高三数学备考冲刺140分问题18等差数列、等比数列的证明问题含解析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学备考冲刺140分问题18等差数列、等比数列的证明问题含解析（10页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、问题18 等差数列、等比数列的证明问题一、考情分析等差数列与等比数列的证明是高考热点，一般出现在解答题第一问，等差数列与等比数列的证明难度虽然不大，但有一定的技巧性，且对规范性要求较高，解题时要避免会而不对或对而不全二、经验分享1.等差数列证明方法主要有：(1)定义法：anan1(n2,nN*)为同一常数an是等差数列；(2)等差中项法：2anan1an1(n2,nN*)成立an是等差数列；(3)通项公式法：anpnq(p,q为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列；(4)前n项和公式法：验证数列an的前n项和SnAn2Bn(A,B为常数)对任意的正整数n都成立an是等差数列； 【点评】证
2、明数列成等比数列的关键是利用已知得出.【小试牛刀】【安徽省安庆一中、山西省太原五中等五省六校（K12联盟）2018届高三上学期期末】已知数列满足， 且（1）求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式；（2）令，求数列的前项和（2）由（1）知， (二) 运用等差或等比中项性质是等差数列, 是等比数列,这是证明数列为等差（等比）数列的另一种主要方法 【例2】正数数列和满足：对任意自然数成等差数列,成等比数列证明：数列为等差数列【点评】本题依据条件得到与的递推关系,通过消元代换构造了关于的等差数列,使问题得以解决通过挖掘的意义导出递推关系式,灵活巧妙地构造得到中项性质,这种处理大大简化了计算【小试牛
3、刀】已知等比数列an的公比q.(1)若a3,求数列an的前n项和；(2)证明：对任意kN*,ak,ak2,ak1成等差数列【解析】(1)由通项公式可得a3a1,解得a11,再由等比数列求和公式得Sn.(2)证明：kN*,2ak2(akak1)2a1qk1(a1qk1a1qk)a1qk1(2q2q1)a1qk10,2ak2(akak1)0,对任意kN*,ak,ak2,ak1成等差数列(三) 反证法解决数学问题的思维过程,一般总是从正面入手,即从已知条件出发,经过一系列的推理和运算,最后得到所要求的结论,但有时会遇到从正面不易入手的情况,这时可从反面去考虑如：【例3】设是公比不相等的两等比数列,证
4、明数列不是等比数列【点评】本题主要考查等比数列的概念和基本性质、推理和运算能力,对逻辑思维能力有较高要求要证不是等比数列,只要由特殊项（如）就可否定一般地讲,否定性的命题常用反证法证明,其思路充分说明特殊化的思想方法与正难则反的思维策略的重要性【小试牛刀】【江苏省泰州市2019届高三上学期期末】已知数列的前n项和为Sn，且对任意的nN*，n2都有。（1）若0，求r的值；（2）数列能否是等比数列？说明理由；（3）当r1时，求证：数列是等差数列。【解析】（1）令n2，得：，即：，化简，得：，因为，所以，解得：r1.（2）假设是等比数列，公比为，则，且，解得或，由，可得，所以，两式相减，整理得，两边
5、同除以，可得，因为，所以， 【小试牛刀】已知等比数列an的公比为q,记bnam(n1)1am(n1)2am(n1)m,cnam(n1)1am(n1)2am(n1)m(m,nN*),则以下结论一定正确的是()A数列bn为等差数列,公差为qmB数列bn为等比数列,公比为q2mC数列cn为等比数列,公比为qm2D数列cn为等比数列,公比为qmm【答案】C 【解析】bnam(n1)1(1qq2qm1),qm,故数列bn为等比数列,公比为qm,选项A,B均错误；cnaq12(m1), (qm)mqm2,故数列cn为等比数列,公比为qm2,D错误,故选C.五、迁移运用1.已知数列 满足,则“ 数列为等差数
6、列” 是“ 数列为 等差数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D即不充分也不必要条件【答案】A2已知数列的前项和,则“是“数列是等比数列”的（ ）A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D 既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当时,不是等比数列；若数列是等比数列,当时,与数列是等比数列矛盾,所以,因此“是“数列是等比数列”的必要不充分条件,选B. 因为对任意，总存在数列中的两个不同项， ，使得，所以对任意的都有，明显.若，当时，有，不符合题意，舍去；若，当时，有，不符合题意，舍去；故.8【山西省晋城市2018届高三上学期第一次模拟】已知数列满足，.（1）求证：
7、数列是等比数列；（2）求数列的前10项和.9【云南省昆明市第一中学2018届高三第五次月考】已知数列满足.（1）证明： 是等比数列；（2）令，求数列的前项和.【解析】（1）由得： ，从而由得 ，是以为首项， 为公比的等比数列 10【江苏省镇江市2018届高三上学期期末】已知数列的前项和，对任意正整数，总存在正数使得， 恒成立：数列的前项和，且对任意正整数， 恒成立.（1）求常数的值；（2）证明数列为等差数列；（3）若，记，是否存在正整数，使得对任意正整数， 恒成立，若存在，求正整数的最小值，若不存在，请说明理由.【解析】（1），-得：，即， ，又， ，时， ； 时，.为正数 又因为， 所以数列
8、是以1为首项，以2为公比的等比数列. （2）由（1）知，因为，所以，所以.13【河南省南阳市第一中学校2018届高三第七次考试】已知数列数列的前项和且，且.（1）求的值，并证明：；（2）求数列的通项公式.14【福建省三明市A片区高中联盟校2018届高三上学期阶段性考试】已知各项为正数的数列， ，前项和， 是与的等差中项（）（1）求证： 是等差数列，并求的通项公式；（2）设，求前项和15【湖北省部分重点中学2018届高三上学期第二次联考】设数列的前项和为，点在直线上.（1）求证：数列是等比数列，并求其通项公式；（2）设直线与函数的图象交于点，与函数的图象交于点，记（其中为坐标原点），求数列的前项和.【解析】（1）点在直线上，（i）当时，.（ii）当时， -即.数列是首项为，公比为的等比数列.（2）由已知 即数列是首项为2，公比为2的等比数列，.（2）设为数列的前项和，则，当时，两式相减得，经验证当时也成立，故，当时，故当时，.利用错位相减法可求得，. 又也符合上式，故数列的通项公式为.
