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1、第3章 有限差分法3.1 波动方程式的差分法（线性双曲线方程）即前进波波动方程（又称为移动方程或传递方程：convection equation） （ 31 ） （ 32 ）从此方程的差分求解方式分析常用的差分形式和稳定性条件。理论解：物理意义：波形保守不变，位置随时间以速度c前进。（前进波） f(x) c f(x-ct) ct （ 33 ） （ 34 ）其中： （ 35 ）例： （ 36 ）即 （ 37 ）其解为： （ 38 ）xu1x03.1.1 显式法对于发展型问题而言，当某一程度上的数值解已知，求解下一程度的数值解时，如未知的相只要一个，称为显式法（explicit time inte
2、gration method）。i. FTCS（Forward in Time and Central Difference in Space）方法 （ 39 ）则能产生： （ 310 ）变形后: （ 311 ）这儿，n 为Courant 数。 （ 312 ）Courant 数表示物理的传播速度c和数值传播速度(Dx/Dt)的比值。该解的特性如图的三角形所示，的值由和所确定。当比值Dx/Dt保持一致时，不管Dx和Dt取多小，其影响的范围是一样的。当物理传播速度c比数值传播速度大的话，用此方法无法得到下一步长的物理特性。(如图绿线所示)，也即，当数值的影响领域无法包括物理特性领域，数值方法将不安
3、定。1928年Courant、Friedrich、Lewy因此而提出了所谓Courant条件。xtTan-1(Dt/ Dx)物理速度走的路程（Cu1）数值速度走的路程物理速度走的路程（Cu1，这说明随时间的发展，差分方程的解的幅度会无限制变大。这种不稳定称为Von Neumann不稳定。FTCS方法的不稳定也可从物理上理解。此差分的Tayor展开为 （ 320 ）代入波动方程 （ 321 ）可见其截断误差的第一项为负的扩散值。负的扩散项从物理上是不稳定的。ii. Lax差分格式（Lax-Friedrich方法）FTCS式中的unj项用两边的平均值来代替: （ 322 ）其： （ 323 ）|m
4、|在n的一定范围内小于1。1n1时：|m|为纯虚数。 （ 327 ）即当sinq1/n时不稳定。此方法分散误差大。iv. Lax-Wendroff格式 原始Lax-Wendroff格式二阶Tayor 展开，空间中心差分：为FTCS格式的修正。此方法由于有附加的扩散项，使得格式稳定。附加项包括空间和时间的2阶精度。在的条件下，除了很大波数，主要含有延迟相位误差。 Lax-Wendroff两步格式第一步（前1/2Dt）：第二步（后1/2Dt）：v. MacCormack的方法 为航天领域应用最广的格式，为Lax-Wendroff两步格式 的一种，但不计算j+1/2点的值。适用于非线性问题。对于线性
5、问题。采用预测修正因子法(predictor-corrector)。预测阶段：修正阶段 结果同Lax-Wendroff两步格式。vi. 1阶精度上风法时间向前，空间向后：Taylor 展开右为截断误差。utt、uttt用uxx、uxxx表示：时间空间都为1阶精度。当n0时，截断误差为零。0. 5 n1.0时：向前相位误差n0Pe0Pe=0fLOLxf0f ( 18由于此问题很简单，常被用于检验离散和求解方法。物理上，它代表了在流线方向对流与扩散间的平衡。事实上，很少有这种平衡起重要作用的流动。通常，对流与压力梯度或垂直流动方向的流动平衡。假定：u 0 and fo fL, u 0 或大G值，Pe0, 对流项可以忽略。解是线性的。 Pe 是大的，解在缓慢变化了一段后，在x=L附近很快变到fL。此f的突然变化往往成
