《2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时 直线与椭圆的位置关系练习（含解析）新人教A版选修2-1》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019年高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.2.2 椭圆的简单几何性质 第二课时 直线与椭圆的位置关系练习（含解析）新人教A版选修2-1（12页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、第二课时直线与椭圆的位置关系1.已知点(2,3)在椭圆+=1上,则下列说法正确的是(D)(A)点(-2,3)在椭圆外(B)点(3,2)在椭圆上(C)点(-2,-3)在椭圆内(D)点(2,-3)在椭圆上解析:由椭圆的对称性知点(2,-3)也在椭圆上.2.直线y=k(x-2)+1与椭圆+=1的位置关系是(B)(A)相离(B)相交(C)相切(D)无法判断解析:直线y=k(x-2)+1过定点P(2,1),将P(2,1)代入椭圆方程,得+b0)的右焦点为F(3,0),过点F的直线交E于A、B两点.若AB的中点坐标为(1,-1),则E的方程为(D)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=1解析:已知
2、椭圆与直线相交弦的中点及斜率,可以用两点式求解.设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点D(1,-1),则kAB=,x1+x2=2,y1+y2=-2,两式相减得:+=0,即=-,即=,所以a2=2b2.又因为c=3,所以b2=9,a2=18,椭圆方程为+=1.故选D.6.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点所在直线的斜率为,则的值是(A)(A)(B)(C)(D)解析:联立方程组(m+n)x2-2nx+n-1=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点P(x0,y0),则x0=,y0=1-x0=1-=.所以kOP=.故选A.7.若点O和点F
3、分别为椭圆+=1的中心和左焦点,点P为椭圆上任意一点,则的最小值为(A)(A)(B)3(C)8(D)15解析:a2=9,b2=5,所以c2=a2-b2=4.所以c=2,所以左焦点F(-2,0).设P(x0,y0),则+=1.=(x0,y0),=(x0+2,y0),所以=x0(x0+2)+.由得=5-,代入得=+2x0+5=(x0+)2+.因为点P(x0,y0)在椭圆上,所以-3x03,所以当x0=-时,取最小值.故选A.8.已知椭圆C:+y2=1的右焦点为F,直线l:x=2,点Al,线段AF交椭圆C于点B,若=3,则|等于(A)(A)(B)2(C)(D)3解析:设点A(2,n),B(x0,y0
4、).由椭圆C:+y2=1知a2=2,b2=1,所以c2=1,即c=1.所以右焦点F(1,0).由=3,得(1,n)=3(x0-1,y0).所以1=3(x0-1)且n=3y0.所以x0=,y0=n.将x0,y0代入+y2=1,得()2+(n)2=1.解得n2=1,所以|=.9.设椭圆+=1与直线x+y=t有公共点,则实数t的取值范围是.解析:由方程组消去y,得16x2+9(t-x)2=144,即25x2-18tx+9t2-144=0.由=(-18t)2-425(9t2-144)0,得t225,所以-5t5.答案:-5,510.椭圆+=1上的点到直线x-2y-12=0的距离的最大值为.解析:设椭圆
5、上的点P(4cos ,2sin ),点P到直线的距离d=当cos(+)=-1时,距离取得最大值,dmax=4.答案:411.设F1,F2分别为椭圆+=1的左、右焦点,P为椭圆上一点,若F1F2P为直角三角形,该三角形的面积为.解析:由题F1PF290,不妨设PF2x轴;椭圆+=1的右焦点(3,0),2c=6,|F2P|=.三角形的面积为6=.答案:12.已知椭圆E:+=1(ab0)的右焦点为F,短轴的一个端点为M,直线l:3x-4y=0交椭圆E于A,B两点.若|AF|+|BF|=4,点M到直线l的距离不小于,则椭圆E的离心率的取值范围是.解析:设椭圆的左焦点为F1,半焦距为c,连接AF1,BF
6、1,则四边形AF1BF为平行四边形,所以|AF1|+|BF1|=|AF|+|BF|=4.根据椭圆定义,有|AF1|+|AF|+|BF1|+|BF|=4a,所以8=4a,解得a=2.因为点M到直线l:3x-4y=0的距离不小于,即,b1,所以b21,所以a2-c21,4-c21,解得0c,所以0b0)上的点P到左、右两焦点F1,F2的距离之和为2,离心率为.(1)求椭圆的方程;(2)过右焦点F2的直线l交椭圆于A,B两点.若y轴上一点M0,满足|MA|=|MB|,求直线l斜率k的值.解:(1)|PF1|+|PF2|=2a=2,所以a=.因为e=,所以c=1,所以b2=a2-c2=2-1=1,所以
7、椭圆的标准方程为+y2=1.(2)可得F2(1,0),则直线的方程为y=k(x-1),设A(x1,y1),B(x2,y2),联立直线与椭圆方程得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0,所以x1+x2=,x1x2=,y1+y2=k(x1+x2)-2k=,所以AB的中点坐标为G(,).k=0时,不满足条件;当k0时,因为|MA|=|MB|,所以kMG=,整理得2k2-3k+1=0,解得k=1或k=.16.已知F1,F2为椭圆C:+=1的左、右焦点,点E是椭圆C上的动点, 的取值范围为(B)(A)7,9(B)7,8(C)8,9(D)8,17解析:由题意可知椭圆的左、右焦点坐标分别为F1(-1,
8、0),F2(1,0),设E(x,y),则=(-1-x,-y),=(1-x,-y),=x2-1+y2=x2-1+8-x2=x2+7(-3x3),所以当x=0时,有最小值7,当x=3时,有最大值8,的取值范围为7,8,故选B.17.如图,圆O与离心率为的椭圆T:+=1(ab0)相切于点M(0,1),过点M引两条互相垂直的直线l1,l2,两直线与两曲线分别交于点A,C与点B,D(均不重合).若P为椭圆上任一点,记点P到两直线的距离分别为d1,d2,则+的最大值是(C)(A)4(B)5(C)(D)解析:易知椭圆C的方程为+y2=1,圆O的方程为x2+y2=1,设P(x0,y0),因为l1l2,则+=P
9、M2=+(y0-1)2,因为+=1,所以+=4-4+(y0-1)2=-3(y0+)2+,因为-1y01,所以当y0=-时,+取得最大值,此时点P(,-).18.已知动点P(x,y)在椭圆+=1上,若A点的坐标为(3,0),M为平面内一点,|=1,且=0,则|的最小值为.解析:由|=1,A(3,0),知点M在以A(3,0)为圆心,1为半径的圆上运动,因为=0且P在椭圆上运动,所以PMAM,即PM为圆A的切线,连接PA(如图),则|=,所以当|min=a-c=5-3=2时,|min=.答案:19.若圆x2+(y-2)2=1与椭圆+=1的三个交点构成等边三角形,则该椭圆的离心率的值为.解析:如图,圆
10、x2+(y-2)2=1圆心为(0,2),半径为1,则A(0,3),则椭圆+=1焦点在y轴上,即=3,则n=9,等边三角形ABC为圆x2+(y-2)2=1的内接正三角形,则AC=BC=AB=,所以DC=,AD=,所以OD=OA-AD=,所以C点坐标为(,),代入椭圆方程+=1,解得m=1,所以椭圆方程x2+=1,即a=3,b=1,c=2,所以椭圆的离心率e=.答案:20.已知椭圆C:+=1(ab0)的一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,直线y=k(x-1)与椭圆C交于不同的两点M,N,(1)求椭圆C的方程;(2)当AMN的面积为时,求k的值.解:(1)因为椭圆一个长轴顶点为A(2,0),离心率为,所以所以b=,所以椭圆C的方程为+=1.(2)直线y=k(x-1)与椭圆C联立消元可得(1+2k2)x2-4k2x+2k2-4=0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,所以|MN|=,因为A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离为d=,所以AMN的面积S=|MN|d=,因为AMN的面积为,所以=,所以k=1.- 1 -
