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1、 欢迎阅读本文档，希望本文档能对您有所帮助!6.7不等式的综合应用一、明确复习目标1熟练运用不等式的知识综合解决函数、方程、数列、解析几何等有关问题2掌握利用均值不等式和函数单调性求最值的方法，正确理解恒正、恒负、解集为R、解集为空集的实际含义并会等价转换。3能从实际问题中抽象出数学模型，找出已知量与未知量，建立数学关系式，并用适当的方法解决问题4通过不等式的基本知识、基本方法在代数、三角函数、数列、立体几何、解析几何等各部分知识中的应用，深化数学知识间的融汇贯通，从而提高分析问题解决问题的能力，提高数学素质及创新意识二建构知识网络1不等式的性质，解法和证明方法，是综合运用不等式知识解决问题的
2、基础。2解不等式与函数、数列、三角函数、解析几何综合问题的关键是找出各部分的知识点和解法，充分利用相关的知识和方法求解，要依据题设、题断的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案，最终归结为不等式的求解、证明或求最值值问题3不等式的应用范围十分广泛，许多问题，最终都可归结为不等式的求解、证明或求最值。这类问题大致可以分为两类：一类是建立不等式、解不等式；另一类是建立函数式求最大值或最小值4利用不等式解应用题的基本步骤：（1）审题，（2）建模（不等式或函数），（3）求解，（4）作答三、双基题目练练手1(2004湖北)函数上的最大值和最小值之和为a，则a的值为 （ ）ABC2D42(2004湖南)设
3、集合，那么点P（2，3）的充要条件是（ ）ABCD3.某工厂年产值第二年比第一年增长百分率为p1,第三年比第二年增长的百分率为p2,第四年比第三年增长的百分率为p3,若p1+p2+p3=m,m为常数，则年平均增长率p的最大值为( )A. B. C. D.4今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确,有人要用它称物体的重量,他将物体放在左右托盘各称一次,取两次称量结果分别为a,b.设物体的真实重量为G,则 ( )A.=G B. G C. G D.G 5.在等差数列an与等比数列bn中，a1=b10，an=bn0，若m 5. 若d=0或q=1，则am=bm.若d0，画出an=a1+（n1）d与bn=b
4、1qn1的图象，易知ambm，故ambm.6.本题等价于求函数x=f(y)=(y+3)|y-1|+(y+3)在时的最小值.易得四、经典例题做一做【例1】已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)=1，若m、n1,1，m+n0时0. (1)用定义证明f(x)在1,1上是增函数；(2)解不等式 f(x+)f()；(3)若f(x)t22at+1对所有x1,1，a1,1恒成立，求实数t的取值范围 (1).证明 任取x1x2，且x1，x21,1，则f(x1)f(x2)=f(x1)+f(x2)=(x1x2)1x1x21，x1+(x2)0，由已知0，又 x1x20，f(x1)f(x2)0，即f(x)在
5、1,1上为增函数. (2)解 f(x)在1,1上为增函数， 解得:x|x1，xR(3)解 由(1)可知f(x)在1,1上为增函数，且f(1)=1，故对x1,1，恒有f(x)1，所以要使f(x)t22at+1对所有x1,1,a-1,1恒成立，即要t22at+11成立，故t22at0，记g(a)=t22at，对a1,1，有g(a)0，只需g(a)在1,1上的最小值大于等于0，g(1)0，g(1)0，解得，t2或t=0或t2 t的取值范围是 t|t2或t=0或t2 提炼方法 函数的单调性的判定就是不等式的判定,题（2）中利用单调性把函数值的大小关系转化为自变量的大小关系是最常用的手法,要熟练掌握.【
6、例2】已知奇函数f(x) 在(-,0)(0,+)上有定义,在(0,+)上是增函数,f(1)=0,又知函数:集合,求MN解:f(x)是奇函数, 在(0,+)上递增,则f(x) 在(-,0)也递增.又由f(1)=0得f(-1)=0.令t=cos则t0,1,又设 要使(t)0,必须使(t)在0,1内最大值小于零.10 当 30当时 综上： 【例3】已知某种商品的定价上涨成（1成即为，成即为），其销售量便相应减少成，按规定，税金是从销售额中按一定的比例缴纳，如果这种商品的定价无论如何变化，从销售额中扣除税金后的金额总比涨价前的销售额少，试求这时税率的取值范围(精确到0.1% )解：设原定价为元/件，原
7、销售量为件，则原销售额为元，由已知得 式恒成立，0，解得，故11.1%1,即税率的取值范围(11.1%,100%).【例4】设计一幅宣传画，要求画面面积为4840cm2，画面的宽与高的比为(1)，画面的上下各留8cm的空白，左右各留5cm的空白，问怎样确定画面的高与宽的尺寸，能使宣传画所用纸张面积最小？如果，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解：设画面的高为，宽为，则，设纸张面积为，则有，当且仅当时，即时，取最小值，此时，高，宽.如果，则上述等号不能成立.现证函数S()在上单调递增.设,则 因为，又，所以，故在上单调递增,因此对，当时，取得最小值.提炼方法: 用均值不等式求最值时，如果
8、满足“一正二定三相等”，则可直接求解；如果不符合条件中的相等，则应先判断函数的单调性后在求解.【研讨.欣赏】已知抛物线y=ax21上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求实数a的取值范围.解法一：设抛物线上关于直线l对称的两相异点为P（x1，y1）、Q（x2，y2），线段PQ的中点为M（x0，y0），设直线PQ的方程为y=x+b，由于P、Q两点存在，所以方程组有两组不同的实数解，即得方程ax2x（1+b）=0. 判别式=1+4a（1+b）0.由得x0=，y0=x0+b=+b.Ml，0=x0+y0=+b，即b=，代入解得a.解法二：设同解法一，由题意得将代入，并注意到a0，x1x20，得由二
9、元均值不等式易得2（x12+x22）（x1+x2）2（x1x2）.将代入上式得2（+）（）2，解得a.解法三：同解法二，由，得y1y2=a（x1+x2）（x1x2）.x1x20，a（x1+x2）=1.x0=.M（x0，y0）l，y0+x0=0，即y0=x0=，从而PQ的中点M的坐标为（，）.M在抛物线内部，a（）2（）10.解得a.（舍去a0，为什么?）五提炼总结以为师1.不等式与函数的综合是一类最常见的题目，如求函数的定义域、值域，求参数的取值范围，与函数有关的不等式证明等，解决此类综合题，要充分运用函数的单调性，注意函数的定义域，有时要与函数的奇偶性、周期性一起讨论.2.不等式与数列的综合
10、题，一般来说多是证明题，要熟悉不等式的常用证明方法，特别是比较法、综合法、分析法、数学归纳法等，也可利用函数的思想.3.含有参数的不等式问题，要分析实质,灵活进行等价转化;化为熟悉的问题去解决，注意参数的范围和它对问题的影响.4.对于应用题要通过阅读，理解材料，寻找量与量之间的内在联系，抽象出数学关系，从而建立数学模型不等式或函数最值问题，然后利用不等式的知识求出题中的问题.同步练习 6.7不等式的综合应用 【选择题】1.设M=a+（2a3），N=log（x2+）（xR），那么M、N的大小关系是A.MNB.M=NC.MND.不能确定2.（2004福建）定义在R上的函数f（x）满足f（x）=f（
11、x+2），当x3，5时，f（x）=2|x4|，则 ( )A.f（sin）f（cos） B.f（sin1）f（cos1）C.f（cos）f（sin） D.f（cos2）f（sin2）3已知命题p：函数的值域为R;命题q：函数是减函数.若p或q为真命题，p且q为假命题，则实数a的取值范围是( ）Aa1Ba2C1a2Da1或a24.如果一辆汽车每天行驶的路程比原来多19千米，那么在8天之内它的行程就超过2200千米；如果它每天行程比原来少12千米，那么它行驶同样的路程就得花9天多的时间，这辆汽车原来每天行程的千米数x满足：（ ）A.259x260 B.258x260 C.257x260 D.256x
12、260【填空题】5.对于0m4的m，不等式x2+mx4x+m3恒成立，则x的取值范围是_.6.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填上一个自然数，并且使这两个自然数的和最小，1=.简答提示：1-4.ADCD; 1. 易证M4，N4M.2.可知当3x4时，f（x）=2+x.当4x5时，f（x）=6x, 周期是2故在（1，0）上增，在（0，1）上减.又由|cos2|sin2|，f（cos2）f（sin2）3命题p:；命题q:a2.命题p、q一真一假得1a2。5x3或x1；6设+=1，a、bN*，则a=.a+b=+b，b9时，a+b=+b9+1016.=b9，即b=12取等号，此时a=4.b9无解
13、.a=4，b=12.答案：4 12【解答题】7. （2003福建质检）已知函数f（x）=|log2（x+1）|，实数m、n在其定义域内，且mn，f（m）=f（n）.求证：（1）m+n0；（2）f（m2）f（m+n）f（n2）.（1）证法一：由f（m）=f（n），得|log2（m+1）|=|log2（n+1）|，即log2（m+1）=log2（n+1），log2（m+1）=log2（n+1），或log2（m+1）=log2.由得m+1=n+1，与mn矛盾，舍去.由得m+1=，即（m+1）（n+1）=1.m+11n+1.m0n.mn0.由得mn+m+n=0，m+n=mn0.证法二：（同证法一得）（m+1）（n+1）=1.0m+1n+1，=1.m+n+22.m+n0.（2）证明：当x0时，f（x）=|log2（x+1）|=log2（
