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1、任晓 LyleRen 2011年上海高考数学（文理）命题评析 任晓2011年上海高考昨日落下帷幕，今年的数学试题又成为考生和家长关注的焦点。若要用两关键词来提炼今年数学命题的特点，“探究”和“改妆”是今年试题的最大特点。所谓“探究”是命题人将数学问题以探讨的形式给出，需要考生读懂问题，探索问题，研究问题，进而给出相关的结论，而不是机械的、刻板的对教科书上知识进行简单的搬抄或套用。例如理科的22题、23题，文科的23题等等，都是典型的探究性问题所谓“改妆”是命题人将原本我们熟知的问题改头换面，将数学基本模型、基本问题隐藏在具体的现实的问题背后，进而考查同学解决实际问题的能力，自然这需要数学建模的
2、思想和能力。理科的09题、12题、13题、18题，文科的13题等都是这方面考题的体现。虽然从表面看试题有崭新的感觉，但究其本质很多问题都是老生常谈的问题，相关的知识和技能在平时授课以及考前命题分析中都有所涉及，例如抽象函数的处理，二阶线性递推关系式的处理，等差、等比数列的证明，解析几何优先几何和定义的思想，解析几何最值、范围问题的处理等等，都是在我先前考前命题分析讲座中给我们考生重点强调、重点指出的问题。这里仅以理科的压轴题为例，在学而思高三春季班第九讲高考决战巅峰创新类题型解决方案中就出现过类似问题，多题与今年的压轴题思想方法雷同或完全一致，而且难度比上海高考压轴题还要大。以下是学而思讲义上
3、的题，同学们可作比对。【其一】在平面直角坐标系中，定义为两点，之间的“折线距离”。在这定义下，给出下列命题：到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个正方形；到原点的“折线距离”等于的点的集合是一个圆；到，两点的“折线距离”之和为的点的集合是面积为的六边形；到，两点的“折线距离”差的绝对值为的点的集合是两条平行线。其中正确的命题是。（写出所有正确命题的序号）【答案】【其二】在平面直角坐标系中，为坐标原点，定义，两点之间的“直角距离”为。若点，则；已知点，点是直线上的动点，的最小值为。【答案】；【其三】在平面直角坐标系中，定义点，之间的“直角距离”为。若到点，的“直角距离”相等，其中实数，满足，则
4、所有满足条件点的轨迹的长度之和为。【答案】【其四】在平面直角坐标系中，点集，则（1）点集所表示的区域的面积为。（2）点集所表示的区域的面积为。【答案】；纵观文理两套试题，有7道相同题，5道“姊妹题”，进一步拉开了文理试题的差异性。试题更多的是考查学生的能力，而并非知识本身。对于数形结合、分类讨论、转化化归、空间想象、抽象计算等重点能力重点考查。试题整体难易恰当，有一定的区分度，能很好的起到选拔考生的作用。“探究”和“改妆”是试题的两大创新点和亮点，这必将在明年的命题中继续得到淋漓尽致的诠释。以下是今年试题中相对较难的几个题，我给出了详解，并附上点评。【2011上海理13】设是定义在上，以为周期
5、的函数，若函数在区间上的值域为，则在的区间上的值域为。【解析】；是定义在上，以为周期的函数，又，当时，的值域为，且，当时，的值域为。以此类推当时，的值域为，当时，的值域为。同理也成立，则，当时，的值域为，以此类推当时，的值域为。综上，在的区间上的值域为。【点评】此题为抽象函数，显然得用赋值的方法，再根据其周期由推导其它范围的取值情况。这与2011浦东新区一模的压轴题如出一辙，思想和策略完全一致。当然，考生在考场上也可将抽象函数具体化，找一个满足题意的具体函数，进而求解也未尝不可。【2011上海理14】已知点、和点，记的中点为，取和中的一条，记其端点为、，使之满足，记的中点为，取和中的一条，记其
6、端点为、，使之满足，依次下去，得到，则。【解析】；根据题意画出图形，确定相应的，并求出其相应的值分别为、，根据其趋势可得。下面给出严格推导：记，根据题意可得数列存在递推关系。其为二阶线性递推关系式，故采用特征方程的方法，可得特征方程为，解得或。故。分别令，可得，解得，则。故。【点评】此题是典型的探究性问题。将已知二阶线性递推关系求通项公式的问题，披上了一层解析几何的外衣，变得扑朔迷离。究其本质还是在于对归纳推理、数形结合、转化化归等能力的综合考查。考生要全面地解决此问需深刻把握两点之间距离、极限、二阶线性递推关系求通项等相关知识。【2011上海理18】设是各项为正数的无穷数列，是边长为，的矩形
7、的面积，则为等比数列的充要条件是。是等比数列，或，是等比数列，和，是等比数列，或，是等比数列，且公比相同 【解析】；，若为等比数列，则定值，即数列的奇数项和偶数项分别为等比数列，且奇数项的公比和偶数项的公比相同。【点评】此题是等比数列的证明问题，命题人通过自定义数列将问题变得耳目一新，但究其本质依然是考查等比数列证明的方法。考生要解决此问需深刻把握用定义证明等比数列的方法。【2011上海文22】已知椭圆：（常数），是曲线上的动点，是曲线上的右顶点，定点的坐标为。（1）若与重合，求曲线的焦点坐标；（2）若，求的最大值和最小值；（3）若的最小值为，求实数的取值范围。【解析】（1）当与重合时，椭圆：
8、，故曲线的焦点坐标为和。（2）设曲线上点。当时，椭圆：。点在椭圆上，又，当时，有的最小值，且；当时，有的最大值，且。（3）设曲线上点。点在椭圆上，。令，其对称轴为，。又的最小值为，当时，取到的最小值，即取到的最小值，解得。综上，当时，的最小值为。【点评】此题后两问为典型的解析几何最值问题，（2）正向问题，（3）问为逆向问题。均采用搭建函数模型来解决，处理过程中切不可忘函数定义域的限制。此题要求考生具备较强函数最值求解、分类讨论等相关能力。【2011上海理22】已知数列和的通项公式分别为，。将集合中的元素从小到大依次排列，构成数列，（1）写出，；（2）求证：在数列中，但不在数列中的项恰为，；（3
9、）求数列的通项公式。【解析】（1）， ， 又数列和的通项均为一次型函数且单调递增，。（2）数列由数列和中的数从小到大依次排列而成，对任意的数列中的数必为数列中的数。又，当时，必为大于等于的偶数，当时，必为大于等于的奇数，中为大于等于的所有的奇数，不在数列中，在数列中，即在数列中，但不在数列中的项恰为，。（3）当，时，则；当，时，则；当，时，；当，时，；综上，。【点评】此题为典型的探究性问题，题干给出两个等差数列，通过一定的法则，要求考生自己构造出新数列，并进一步研究新数列的相关性质。此题与今年浦东新区二模的压轴题如出一撤，分类讨论、周期的思想完全一致。要解决此问需考生具备较强的归纳推理、分类讨
10、论等能力。【2011上海理23】已知平面上的线段及点，任取上一点，线段长度的最小值称为点到线段的距离，记作。（1）求点到线段：的距离；（2）设是长为的线段，求点的集合所表示的图形面积；（3）写出到两条线段，距离相等的点的集合，其中，是下列三组点中的一组。对于下列三种情形，只需要选做一种，满分分别是2分，6分，8分；若选择了多于一种情形，则按照序号较小的解答计分。，【解析】（1）法一：设线段上任意一点，则，当时，有最小值，即。法二：如图，、，在线段上取异于点的点构成。，。（2）设，则在、之间的区域中满足的动点所在区域为线段与线段之间的区域。在左侧区域中动点到点的距离最小，故满足的动点所在区域为如
11、图所示左半圆面。同理在右侧区域中动点到点的距离最小，故满足的动点所在区域为如图所示右半圆面。则点的集合所表示的图形面积。（3）在、之间的区域中满足的动点所在区域为线段，在上方区域中，故满足的动点所在区域为线段的垂直平分线，综上，此时动点所在区域为射线；同理，在下方区域中满足的动点所在区域为射线。故集合。在、之间的区域中满足的动点所在区域为线段，在上方区域中，故满足的动点所在区域为线段的垂直平分线，综上，此时动点所在区域为射线；在、之间的区域中，为点到的距离，故满足的动点所在区域为抛物线中到之间的部分；在下方区域中，故满足的动点所在区域为线段的垂直平分线，综上，此时动点所在区域为射线，其中射线的方程为。故集合。如图所示的黑线加粗部分为满足的动点所在区域。集合【点评】此题是典型的探究性问题，自定义了一个点到线段的最短距离。第一问典型的最值问题，可采用搭建函数模型解决；第二、第三问为轨迹问题，解决这两问的关键在于解析几何问题几何和定义优先考虑。在能力方面要求考生具有较高的数形结合、分类讨论等相关能力。第 5 页 共 8 页
