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1、wang相似模型模型1：A、8模型已知12结论：ADEABC 模型分析 如图，在相似三角形的判定中，我们通过做平行线，从而得出A型或8型相似在做题使，我们也常常关注题目由平行线所产生的相似三角形模型实例【例1】如图，在ABC中，中线AF、BD、CE相交于点O，求证：解答：证法一：如图，连接DED、E是中点，DE/BCEODCOB（8模型）同理：，证法二：如图，过F作FG/AC交BD于点G，F是中点，ADCD，FG/AD，GOFDOA（8模型）同理，【例2】如图，点E、F分别在菱形ABCD的边AB、AD上，且AEDF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若2，求的值解答：四边形ABCD
2、是菱形，ABBCCDAD设DFa，则DFAEa，AFEB2aHD/AB，HFDBFA，HD15a，FHBHHD/EB，DGHEGB，BGHB，跟踪练习：1如图，D、E分别是ABC的边AB、BC上的点，且DE/AC，AE、CD相交于点O，若SDOE：SCOA1：25则SBDE与SCDE的比是_解答：DE/AC，DOECOA，又SDOE：SCOA1：25，DE/AC，的比是1：4.2如图所示，在ABCD中，G是BC延长线上的一点，AG与BD交于点E，与DC交于点F，此图中的相似三角形共有_对解：四边形ABCD是平行四边形，AD/BC，AB/CD（1）ABDCDB；（2）ABEFDE；（3）AEDG
3、EB；（4）ABGFCGFDA，可以组成3对相似三角形.图形中一共有6对相似三角形.3如图，在ABC中，中线BD、CE相交于点O，连接AO并延长，交BC于点F，求证：F是BC的中点证明：连接DE交AF于点G，则DE/BC，DE=BC，G为AF中点，BF=FC，即点F是BC的中点4在ABC中，AD是角平分线，求证：方法一：过点C👈CE/AB交AD延长线于点E，1=3，ABDECD，1=2，2=3，AC=CE，方法二：设ABC中BC边上的高为h，则，过D分别作DEAB，于E，DFAC于F，则，又1=2，DE=DF，5如图，ABC为等腰直角三角形，D是直角边BC的中点，E在AB上，且
4、AE：EB2:1，求证：CEAD证明：过点B做BF/AC，交CE延长线于点F，则CBF=90，AECBEFAE：EB=2：1，BF=AC=BC=CD，又AC=CB，ACD=CBF=90ACDCBF，1=2，1+3=90，2+3-904=90，CEAD模型2 共边共角型已知： 1=2 结论：ACD ABC模型分析 上图中，不仅要熟悉模型，还要熟记模型的结论，有时候题目中会给出三角形边的乘积关系或者比例关系，我们要能快速判断题中的相似三角形，模型中由ACD ABC进而可以得到：AC2=ADAB模型实例例1 如图，D是ABC的边BC上一点，AB=4，AD=2，DAC=B，如果ABD的面积为15那么A
5、CD的面积为 解答：DAC=B，C=C，ACD BCAAB=4，AD=2，SABD=15，SACD=5例2如图，在RtABC中，BAC=90o，ADBC于D（1）图中有多少对相似三角形？（2）求证：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD（3）求证：ABAC=BCAD解答（1）三对分别是：ABD CBA；ACD BCA；ABD CAD（2）ABD CBA，AB2=BDBC，ACD BCAAC2=CDCB，ABD CAD，AD2=BCCD（3），ABAC=BCAD跟踪练习：1如图所示，能判定ABCDAC的有 B=DACBAC=ADCAC2=DCBCAD2=BDBC【答案】2已知AMN
6、是等边三角形，BAC=120o求证：（1）AB2=BMBC；（2）AC2=CNCB；（3）MN2=BMNC【答案】证明：BAC=120o，B+C=60o.AMN是等边三角形，B+1=AMN=60o，C+2=ANM=60o.1=C，2=B.(1)1=C，B=B，BAM BCA.AB2=BMBC（2）2=B，C=C，CAN CBA.AC2=CNCB（3）1=C，2=B，BAM ACN.BMCN=ANAMAN=AM=MN，AB2=BMBC3如图，AB是半圆O的直径，C是半圆上一点，过C作CDAB于D，AC=，AD:DB=4:1求CD的长【答案】连接BC，设AD=4x，则DB=x.AB=5x.AB是半
7、圆O的直径，ACB=90o又CDAB.ACDABC.AC2=ADAB，即，解得：x=（舍负）.AD=.CD=4如图，RtABC中，ACB=90o，CDAB，我们可以利用ABCACD证明AC2=ADAB，这个结论我们称之为射影定理，结论运用：如图，正方形ABCD的边长为6，点O是对角线AC、BD的交点，点E在CD上，过点C作CFBE，垂足为F，连接OF（1）试利用射影定理证明BOFBED；（2）若DE=2CE，求OF的长【答案】（1）四边形ABCD为正方形，OCBO，BCD=90o.BC2=BOBD.CFBE，BC2=BFBE.BOBD=BFBE.即，又OBF=EBD，BOF BED.（2）BC
8、=CD=6，而DE=2CE，DE=4，CE=2.在RtBCE中，BE=，在RtOBC中，OB=，BOFBED，即，.模型3 一线三等角型已知，如图中：B=ACE=D结论：ABCCDE模型分析如图，ACEDCE=BA，又B=ACE，DCE=AABCCDE图同理可证ABCCDE在一线三等角的模型中，难点在于当已知三个相等的角的时候，容易忽略隐含的其他相等的角，此模型中的三垂直相似应用较多，当看见该模型的时候，应立刻能看出相应的相似三角形模型实例例1 如图，在等边ABC中，P为BC上一点，D为AC上一点，且APD=60o，BP=1，CD=则ABC的边长为 解答ABC是等边三角形，AB=BC=AC，B
9、=C=60oAPC=BBAP，即APDDPC=BBAP，又APD=B=60o，DPC=BAP又B=C，PCDABP设AB=x，则PC=x1，解得x=3例2 如图，A=B=90o，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取一点P，使得PAD与PBC相似，则这样的P点共有 个解答设AP，则有PBABAP7，当PDACPB时，即，解得：或，当PDAPCB时，即，解得：，则这样的的点P共有3个练习：1如图，ABC中，BAC90，ABAC1，点D是BC边上一动点（不与B、C点重合），ADE45（1）求证：ABDDCE；（2）设，求关于的函数关系式；（3）当ADE是等腰三角形时，求AE的长1.解答：（3）
10、当ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE.当ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA.即ADE为等腰直角三角形.当AD=EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去.2如图，在ABC中，ABAC10，点D是边BC上一动点（不与B、C重合），ADEBa，DE交AC于点E，且下列结论：ADEACD；当BD6时，ABD与DCE全等；DCE为直角三角形时，BD等于8或；其中正确的结论是 （把你认为正确的序号都填上）2.解答：故正确.故正确.（3）当AED=900时，由可知：ADEACD. ADC=AED. AED=900， ADC=900.即 ADBC. AB=AC， BD=CD.当CDE=9
11、00时，易得CDEBAD.故正确.（4）易证CDEBAD，由可知BC=16，故正确，故答案为：.3如图，已知矩形ABCD的一条边AD8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处，折叠与边BC交于O，连接AP、OP、OA（1）求证：OCPPDA；（2）若OCP与PDA的面积比为14，求边AB的长3.解答模型4 倒数型条件：AFDEBC结论：模型分析AFDEBC，BDEBAF，ADEABC，即（两边同时除以DE）仔细观察，会发现模型中含有两个A型相似模型，它的结论是由两个A型相似的结论相加而得到的，该模型的练习有助于提高综合能力水平模型实例如图，AFBC，AC、BF相交于E，过E作EDA
12、F交AB于D求证：证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G则（模型结论） 跟踪练习1 如图，在ABC中，CDAB于点D，正方形EFGH的四个顶点都在ABC的边上.求证： 答案：1、证明：方法一：如图 四边形EFGH是正方形， EFAB CDAB， EFCD， AEFACD. EHAB， CEHCAB EH=EF， +得， 方法二：如图，构造模型4过点C作AB的平行线交AH的延长线于点K，依题意有，CKEHAB， CK=CD. 2正方形ABCD中，以AB为边作等边三角形ABE，连接DE交AC于F，交AB于G，连接BF求证： (1) AF+BF=EF； (2) 答案：（1）如图，在EF上截取FH=AF. EAB=600，BAD=900，AE=AD， 1=2=150. 3=2+4=600. AFH为等边三角形. EAH=BAF
