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1、易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。对问题一，我们通过实际测量得出（355ml）易拉罐各部分的数据。对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。模型 圆
2、台面积 用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=5.07最小。结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。关键词：易拉罐 最优设计 数学建模 一、 问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就
3、很大了。为此提出下述问题：1 取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。2设易拉罐是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。3设易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸。4 利用对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。5用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必
4、须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。二基本假设1本文研究易拉罐形状和尺寸的最优设计，不考虑具体的用料（假设为铝材），也不考虑易拉罐的工艺过程。2易拉罐的形状和尺寸假设为“正圆柱体”或“正圆台与正圆柱体的结合”等等。3易拉罐的基本构造为“两片罐”。4实际测量允许有一定的误差。(对不同问题的研究再作补充假设)。三模型的假设与求解问题一我们实际测量355ml易拉罐的各种数据如下表：常见易拉罐尺寸（mm）355毫升可口可乐上圆台上底直径59盖厚0.30下底直径65上圆台侧面厚0.17高度12正圆柱直径65壁厚0.10高度104下圆台上底直径50底厚0.30下底直径65下圆台侧
5、面厚0.30高度8 问题二1 补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： 在本问题的研究中，假设易垃罐是一个正圆柱体； 假设易拉罐侧面和底面的厚度相同，顶部的厚度是侧面厚度的3倍； 体积一定的柱体中，正圆柱体的表面积最小。2 符号说明：h：易拉罐的高；r：易拉罐的上下底半径；d：易拉罐金属板的厚度；V：易拉罐的体积；D：易拉罐上下底直径。3问题分析与模型在本问题中，易拉罐的最优设计着眼于每个易拉罐用料最少。因此需要考虑易拉罐的形状、尺寸和厚度，已假设易拉罐顶部的厚度是侧面厚度的3倍，是源于对355ml的可口可乐等易拉罐的实测数据（见问题一的解）。因此一个易拉罐所需材料为：S=侧面的材料+底
6、面的材料+顶部的材料 即 假设易拉罐的体积V一定则所需材料为模型求解，用微积分方法令，解得。讨论当时，；当时，。因此是的极小值，而没有其它极值点，故是的最小值点。此时，易拉罐的直径易拉罐的高3 结果分析上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是最优设计。此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的355毫升的可口可乐易拉罐高122，直径65，（比例2：1.06），其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统一鲜橙多等其比例都如此。又如 180毫升的雀巢
7、咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。问题二再解上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚度是其他部分厚度的3倍”。这是由实测数据得到，并认为是易拉罐开口原理（即开口边缘切口，便于拉开），要求顶盖有一定的厚度，现去除此假设，做一般地研究。1 补充假设： 假设易拉罐是一个正圆柱体； 假设易拉罐侧面厚度与底面厚度相同，与顶盖厚度不同（如图2）。图22 符号说明：r：易拉罐的半径；h：易拉罐的高；v：易拉罐内体积（容积）；sv：易拉罐所用材料的体积；b：易拉罐除顶盖外的厚度；：顶盖厚度参数，即顶盖厚度。3 问题分析与模型由于易拉罐尺寸优化设计要研究到易拉罐各部分厚度问题，
8、可设想一个易拉罐所用材料是易拉罐外形体积减去内部体积（见图2）。易拉罐用料=侧面材料+底面材料+顶盖材料将上式化简，并以为参数，看作为自变量。有作简化，因为，则很小，所以可将带的项忽略。有记（v是已知的，即罐容积一定）。得数学模型4 模型求解由约束条件，得，代入目标函数令得因为所以为极小值点。又由于极值点只有此一个，因此也是全局极小。又由于，则由对问题二的前一解的结论，得，结论：。5 结果分析易拉罐顶盖厚度是侧面厚度的3倍（），与我们对355ml可口可乐等易拉罐的实测数据完全一致（见问题（1）的解）。问题三 1.补充假设，在基本假设的基础上我们补充下述假设： 在本问题中假设易拉罐如图3所示，即
9、上面是正圆台，下面是正圆柱体。图32 符号说明R：易拉罐正圆柱体半径（也即是正圆台下底半径）；r：易拉罐正圆台上底半径；h1：易拉罐正圆柱体高；V1：易拉罐正圆柱体容积；h ：易拉罐正圆台高；V：易拉罐正圆台容积。3问题分析与模型 因为上述解问题二的结论（正圆柱体易拉罐用料最省的形状和尺寸的最优设计是h=2D）已确定了圆柱形易拉罐的基本尺寸，若易拉罐体积一定，则基本的高与半径可大致确定，即易拉罐的圆柱体部分确定。所以这里我们可以由此简化问题为研究正圆台部分的优化设计。以常见的可口可乐等355ml易拉罐为例，易拉罐可取定R=32mm,h1=110mm,于是测算出V=35ml.于是问题三转化为，已
10、知易拉罐上部正圆台体积V一定，底半径R一定时，其上底半径r和高h为何值（或r与h比例是多少）正圆台的表面积最小，如图4：A图4求正圆台的面积得模型：正圆台面积=顶盖面积+圆台侧面积用数学软件求S的最小值（其中如前分析取V=35ml,R=3.2cm），得： 当r=1.467cm,h=1.93cm时，正圆台表面积最小值s=45.07（）（具体计算见附录1）r 、h、s三者数量关系直观见下图5。图5结论：常见的正圆台与正圆柱体结合的易拉罐，只考虑形状和尺寸变化用料最少的优化设计标准是：总高度与底直径之比为2：1， 正圆台的高与上底直径之比约为2：3（即h：2r2：3），相应易拉罐上下底直径之比为。4
11、.结果分析上述结果是不考虑其他因素，仅就易拉罐形状和尺寸变化，考虑其基本用料最省的数学结论，对实际易拉罐的设计有一定参考意义。但上述结果与现今实际的易拉罐尺寸有出入，以可口可乐等355ml易拉罐为例，其r=2.9cm h=1.2cm。我们分析这种差异的原因是易拉罐的实际设计必须要考虑形状和尺寸以外的其他各种因素。加工工艺：可口可乐等铝制易拉罐是“两片”构成（即正圆柱体侧面及底为一部分，上密封盖为一部分，分别简称为“罐体”和“封盖”）。将铝材罐体缩口形成上部圆台部分，为了使“封口盖”能扣紧“罐体”。圆台侧面的坡度（斜率）有一定要求（如斜率 0.4），即为了封口盖的工艺要求，易拉罐上部侧面的（坡度
12、）不能过小，（按数学优化计算则）。同样是加工工艺的要求，若r较小，较小，即圆台侧面坡度小，则从圆罐上口“缩口”成圆台形时，此加工也增加难度（如容易起皱）。外形美观：按上述数学优化计算，易拉罐上下底直径之比1：2，虽然材料省，但上底开口小，形状就不美观。 问题四1补充假设：在基础假设之外，再假设“黄金分割比例”是易拉罐外型美观的重要原则。2问题分析易拉罐的优化设计，涉及易拉罐的形状，尺寸（用料重量），物理参数，容积，制作工艺，运输，携带，及外观美观等各方面，在容积一定、物理参数要求一定、加工工艺一定的情况下，优化考虑的主要因素在于形状尺寸和外观等两方面。设计中外形美观的考虑影响到易拉罐产品对顾客
13、的吸引，也是企业需要重视的。但其中如果形状尺寸设计只考虑用料最少（因而成本低），则与易拉罐外型美观有一定的矛盾。因而这是双目标优化问题。按上述假设，以黄金分割比例（1：0.4）来看355毫升的可口可乐等易拉罐，高与直径之比（1：0.5），不够美观。3 新设计1及其评价按“黄金分割比例”我们设想，对于正圆柱体易拉罐的高与直径之比取1：0.4，例如椰汁易拉罐高132mm，直径52mm，其比例恰好为1：0.4。从外观上看，这种易拉罐更显得条形、别致。我们实际调查了解顾客对355 毫升 可口可乐这种外型（1：0.5）与238毫升椰汁易拉罐外型（1：0.4），喜爱情况：有60%的顾客喜欢椰汁易拉罐外型，
14、有40%的顾客喜欢可口可乐易拉罐外型，此外，喜欢椰汁易拉罐外型的顾客为女性居多，而喜欢可口可乐易拉罐外型的男性为主。我们认为，女性更为感性，更重视事物的美观，男性更为理性，更重视价格等其他非美术因素，此调查对我们的设想有一定支持作用。4.新设计2及其评价现今常见的易拉罐都是圆柱形，对于一定容积的柱体，以正圆柱体的表面积最小，且圆柱形的外形也较为美观。但易拉罐流行至今几十年都是圆柱形，也太常见有审美疲劳。因而我们考虑易拉罐基本造型有一个较大的变化，如创新设计为了正四方柱体、正三面柱体。正四面柱体尺寸优化设计分析：假设上盖厚是其余厚度的三倍（a为底边长，h为高，d为厚度） 令 又 故为极小值点，为全局最小值点。则结论：2a=h即 正四面体易拉罐体积一定时，高与底边长之比为2：1时，易拉罐用料最省，与问题二正圆柱体尺寸优化设计的结论一样。具体尺寸设计，以355ml容积的易拉罐为例， ，即，得，（外形上看，其边长a比同体积正圆柱形易拉罐的直径短一些，高h也要矮一些）。具体用料比较： 正圆柱体易拉罐（355ml）：顶盖
