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1、摘要：随着科技的进步，人们生活水平的提高，出行方式的便捷，基于效率问题的考虑，越来越多的人在旅游、出差、回家探访等诸多出行问题上，越来越多的将乘坐飞机作为首选的出行方式。然而近年来，燃油价格不断上涨，各航空公司为了争夺市场，在确保安全的情况下，许多航空公司为了降低燃油成本，使用最省油的航线、飞行高度和飞行速度。这样节省了部分能源，降低了运营成本。最优控制是从大量的实际问题中提炼出来的，它尤其与航天航空的指导、导航和控制技术密不可分。在系统工程中，我们通常是给出数值模型，对最优解做出估计，运用变分方法将问题转化，证明解的存在的唯一性，再把得到的理论应用到实际当中去，这有着极其重要的意义而且这将是
2、以后最优控制中越来越被人们关注的问题。在本文中我们介绍了函数极值问题、泛函极值问题和最优控制问题，给出极值点与最优控制的必要条件，阐述了最优控制问题的新进展及他们之间的联系。目前，最优控制理论已经被广泛应用于生产实践中的各个领域。关键词：最优控制 泛函变分 飞机燃油最省一、最优控制最优控制是现代控制中发展较早的重要组成部分，它是现代控制理论和实践的一个研究热点和中心课题。最优控制理论是在现代科学技术发展的基础上形成的，是现代控制理论的核心。它研究和解决如何从一切可能的方案中寻找最优的方案。最优化及最优控制技术是研究和解决如何将最优化问题表示为数学模型以及如何根据数学模型尽快求出其最优解的问题。
3、从数学角度看，最优控制问题就是求解一类带有约束条件的泛函极值问题，因此这就是要应用到变分学的知识。1.1最优控制问题的实质最优控制问题的实质，就是确定在给定条件下给定系统的控制规律，使得系统在规定的性能指标或者目标函数下具有最优值，也就是说，最优控制就是要寻找可以达到的控制作用或者规律，使动态系统，也就是受控对象从初始状态转移到某种要求的终端状态，且保证所规定的性能指标或者目标函数达到最大（小）值。如下图所示，在一定的初始状态下，控制装置具有一定的限制作用，使得受控对象可以达到预期的性能指标，最后达到某种要求的终端状态1。初 始状 态性能最好限制条件要 求状 态控 制作 用控制装置受控对象图1
4、1.2最优控制问题的解决方案第一步：根据所提出的最优化问题，建立最优化问题的数学模型，确定变量，列出约束条件和目标函数（性能指标）。 第二步：对所建立的数学模型进行具体分析和研究，选择合适的最优化求解方法。并根据最优化方法的算法列出程序框图和编写语言程序，用计算机求出最优解，参与控制系统的动态运算。 第三步：加快系统的收敛性，保证系统的误差小于原定的系统性能指标，使系统平稳的工作在最优状态2。1.3最优控制问题的性能指标在状态空间中，要使系统的状态由初始状态转移到终端状态。可以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。性能指标的内容与
5、形式，主要取决于最优控制问题所要完成的任务。因此不同的最优控制问题就应有不同的性能指标，所采用的控制规律不同，系统的某种性能指标值也有所不同，即性能指标是控制作用的函数3。性能指标又称为性能泛函、目标函数、评价函数。二、泛函及其极值变分法泛函可以简单的理解为“函数的函数”，它一般是以积分的形式出现。在求一般函数的极值时微分和导数起着非常重要的作用，在研究泛函极值时，变分法同样起着很重要的作用4。求解泛函极大值和极小值的问题一般称之为变分问题，求解泛函极值的方法成为变分法。因此，变分法是研究和分析泛函极值的一种十分重要的方法，在最优控制中，泛函一般是指控制系统所期望得到的某些目标或者准则，常被称
6、为“目标函数”或者“指标函数”等5。到现在变分法已经能基本解决实际生产和工程和中的大部分优化问题，提出了解决泛函固定端点、可变端点等问题的诸多理论，并给与分析与证明。这些领域应用于控制领域的最优控制问题，已经可以解决很大一部分的最优控制问题6。在此，变分法是研究泛函数极值的一种经典方法。我们应用变分法的结果来解决最优控制问题。2.1泛函的变分设泛函为连续泛函，泛函的增量可表示为如上面所提到的，在我们研究的控制问题中，一般会选择式中，t为时间，为初始时间，为终端时间，x(t)为状态向量，u(t)为输入控制向量，x()为状态向量的终端状态，L和都是标量函数，上式常被称为积分型指标函数7。2.2泛函
7、的极值(1)泛函极值的定义如果泛函在任意一条与y=相近的曲线上的值不小于（或者不大于），即（或者），则称泛函J在曲线上上取到极小值（或者极大值），曲线称为泛函J的极小值曲线（或者极大值曲线）8。(2)泛函极值的必要条件 若泛函在y=上取得极小（极大）值，则在曲线y=上有：。2.3无约束条件的泛函的极值(1)端点固定的情况定理：设x(t)的初始点为，终点为，则使泛函取极值的必要条件为：（欧拉方程）证明如下：我们先来求J的变分=0根据上式我们可以推导出：(2)端点变动的情况定理：设x(t)从到达=c()上，使得取极值的必要条件为：证明如下：我们先来求J的变分根据上式我们可以推导出：2.4有约束条件
8、的泛函的极值应用拉格朗日乘子法，将有约束条件的泛函数极值问题转化为无约束条件的泛函极值问题。设给定，初始状态，终端状态自由，目标函数为： ，求最优控制，使系统从初始状态转移到终端状态，使得目标泛函数J取极值9。 证明如下：我们先来求J的变分根据上式我们可以推导出： （状态方程） （伴随方程） （横截条件）2.5最小值原理的一种具体形式初始条件为：始端时间及始端状态固定，即。终端时间固定，终端状态自由，目标函数为证明如下：我们先来求J的变分根据上式我们可以推导出： =0（状态方程） =0（伴随方程） （横截条件）三、飞行一定条件先燃料的最优控制 在能源吃紧的今天，燃油价格的不断攀升，能源的高效利
9、用越来越受到关注。本文中我们介绍的是在一定情况下，飞机燃油最少的最优控制问题。当某航班从A城市飞往B城市，试求寻找一个合适的最优控制方案，使得飞机消耗的燃料最少。3.1飞机燃料最优控制模型在给定的最优控制系统中，经分析，我们知道有关于飞机起飞和降落的时刻，其标志飞机飞行状态的量，比如位移、速度等都是确定的；除此以外，我们要应用于现实生活中，飞机从A地城市起飞的时刻t0和到达B城市的时刻tf，都是预先规定好的。我们的目标就是寻找一个控制规律，控制飞机推力的方向和大小，使得飞机沿着最优的航线航行，来达到消耗的燃料最少的目的。可以看出，不管飞机怎么飞，起始城市和终点城市都是固定的，也就是说飞机的任何
10、一条轨道都必须经过相同的起点和终点。3.2根据上面的介绍我们将飞机燃油的最优控制问题简化为下述模型已知受控系统的状态方程为，始端条件x(0)=1,终端时间固定，终端状态x()自由，已知，试求控制函数，使函数性能指标取得极小值。根据上面的介绍我们来研究这个问题：(1)我们根据定义的哈密尔顿函数：，在飞机燃油最优问题中哈密尔顿函数为：(2)根据推导出的伴随方程，根据题意有 则有= 再根据=0，推导出，得出 整理可以得到： (3)将带入中有可以推导出，将分别带入中，我们可以得到通过高数的知识我们对这个方程进行求解，得到：，利用边界条件，我们得到，根据，有(4)利用横截条件我们可以得到： =0由模型中
11、的边界条件：解得： 最后得到控制函数：从结论中得到的最优控制函数，我们知道在一定情况下，飞机沿着控制函数在一定的高度，沿着一定的轨迹飞行，能够降低燃油的使用量，可以降低成本，节约能源。四、结束语经过一学期的控制理论学习之后，自己对最优控制几个主要方面的研究分析以及一些比较简略的总结。本篇论文介绍了最优控制理论及其求解方法，最优控制理论的研究进展，并对实际案例进行了分析，得到最优化的控制方法。最优控制理论的实现离不开最优化技术。最优化技术就是研究和解决最优化问题，主要包括两个需要研究和解决的方面：一个是如何将最优化问题表示为数学模型；另一个是如何根据数学模型尽快求出其最优解。而在上面的论述中，我
12、们将泛函的变分法，应用于最优控制的研究中，推导出泛函固定端点和自由端点相对应的欧拉方程，还将利用泛函的变分法，应用最优控制中，推导出求解系统指标泛函固定终点、伴随方程、横截条件和边界条件等，并给予分析和证明。在现在生活中，飞机出行将会越来越普及，燃油的用量将是十分巨大的，对飞机燃油节能这个现实问题进行最优化设计可节约能源，并且带来一定的经济效益。本文中的最优控制及其变分求解是在满足一定的条件下进行研究的，该最优化解决方案简单、性能可靠，具有一定的节能效果，是飞机飞行节能降耗的重要途径和有效方法。因此，本文中研究的飞机燃油节能对于日常生产、生活的节能降耗具有重要意义。在这次论文的撰写过程中，为了
13、得到更多关于最优控制方面的知识点，我也参阅了很多课外书籍。并培养了我对事情研究分析的严谨态度，很大程度上提高了我分析和解决问题的能力，这非常有利于我现在和以后的学习工作。当然，论文中，对于最优控制问题的一些讨论还存在不足之处，对问题的分析不够全面，这些还有待进一步完善，也希望老师能够提出宝贵意见，这也将成为我以后学习中的宝贵经验。谢谢老师！参考文献1冯国楠.最优控制理论与应用M.北京：北京工业大学出版社，2003。2邢继祥，张春蕊，徐洪泽.最优控制应用基础M.北京：科学出版社，2003。3刘豹.现代控制理论M.北京：机械工业出版社，1987。4胡寿松.自动控制原理M.北京：国防工业出版社，1984。5解学书.最优控制理论与应用M.北京：清华大学出版社，1987。6张恭庆，林源渠.泛函分析讲义M.北京：北京大学出版社，1987。7杨增芳.分数阶系统的最优控制研究J.自动化与信息工程，2012(4)：38-40。8金慰刚.关于最优控制中的必要条件J.电讯技术，2007(2)：12-15。9李传刚.关于泛函求极值的一点思考J.自动化与信息工程，2009(1)：28-30。9
