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1、2.1曲线与方程 知识点一直接法求曲线的方程已知线段AB的长度为10，它的两个端点分别在x轴、y轴上滑动，则AB的中点P的轨迹方程是_解析设点P的坐标为(x，y)，则A点坐标为(2x,0)，B点坐标为(0,2y)由两点间的距离公式可得10，即(2x)2(2y)2100，整理、化简得x2y225.答案x2y225知识点二代入法求曲线的方程已知ABC的两顶点A、B的坐标分别为A(0,0)、B(6,0)，顶点C在曲线yx23上运动，求ABC重心的轨迹方程分析由重心坐标公式，可知ABC的重心坐标可以由A、B、C三点的坐标表示出来，而A、B是定点，且C在曲线yx23上运动，故重心与C相关联因此，设出重心
2、与C点坐标，找出它们之间的关系，代入曲线方程yx23即可解设G(x，y)为所求轨迹上任一点，顶点C的坐标为(x，y)，则由重心坐标公式，得顶点C(x，y)在曲线yx23上，3y(3x6)23，整理，得y3(x2)21，故所求轨迹方程为y3(x2)21.知识点三定义法求曲线的方程设A(1,0)，B(1,0)，若动点M满足kMAkMB1，求动点M的轨迹方程解如图所示，设动点M的坐标为(x，y)由题意知：MAMB.所以MAB为直角三角形，AB为斜边又因为原点O是AB的中点，所以，|MO|=， |AB|=1，所以，动点M在以O(0,0)为圆心，|MO|为半径的圆上根据圆的方程的定义知：方程为x2+y2
3、=1.又因为动点M不能与点A，B重合，所以，x1，所以，动点M的轨迹方程为x2+y2=1 (x1)知识点四参数法求曲线的方程已知定点P(a，b)不在坐标轴上，动直线l过点P，并分别交x轴，y轴于点A，B，分别过A，B作x轴，y轴的垂线交于点M，求动点M的轨迹方程解设M(x，y)，并设l：ybk(xa)，由题意知k存在，且k0，则得A(a，0)，B(0，bak)，又AM，BM分别是x轴，y轴的垂线，得M(a，bak)即消去参数k，得xyaybx0.所以动点M的轨迹方程是xyaybx0.知识点五交轨法求曲线的方程如果两条曲线的方程是f1(x，y)0和f2(x，y)0，它们的交点是P(x0，y0)，
4、证明：f1(x，y)f2(x，y)0的曲线也经过P点(R)，并求经过两条曲线x2y23xy0和3x23y2y0的交点的直线方程解P(x0，y0)是两曲线的交点，f1(x0，y0)0，f2(x0，y0)0，f1(x0，y0)f2(x0，y0)0.即方程f1(x，y)f2(x，y)0的曲线经过P点3得9x4y0.即过两曲线的交点的直线方程为9x4y0.考点赏析1.(福建高考) 如图，已知点F（1,0），直线l:x=-1,P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且=.求动点P的轨迹C的方程.解方法一设点P(x，y)，则Q(1，y)，由 得：(x1,0)(2，y)(x1，y)(2，y)，化简
5、得C：y24x.方法二由 得：()0， )()0，2220， |.所以点P的轨迹C是抛物线，由题意，轨迹C的方程为： y24x.2.（陕西高考）如图所示，三定点A（2，1），B（0， 1），C（2，1）；三动点D，E，M满足=t，=t， =t，t0，1. (1)求动直线DE斜率的变化范围；(2)求动点M的轨迹方程解(1)设D(xD，yD)，E(xE，yE)，M(x，y)由=t，=t，知（xD 2，yD 1）= t（2， 2），同理kDE12t.t0,1，kDE1,1（2） tt，(x2t2，y2t1)t(2t2t2,2t12t1)t(2,4t2)(2t,4t22t)y，即x24y.t0,1，x
6、2(12t)2,2所求轨迹方程为x24y，x2,21如果命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”是不正确的，那么下列命题中正确的是()A坐标满足f(x，y)0的点都不在曲线C上B曲线C上的点的坐标不都满足方程f(x，y)0C坐标满足方程f(x，y)0的点有些在曲线C上，有些不在曲线C上D至少有一个不在曲线C上的点，其坐标满足f(x，y)0答案D解析对于命题“坐标满足方程f(x，y)0的点都在曲线C上”的否定是“坐标满足方程f(x，y)0的点不都在曲线C上”，即至少有一个不在曲线C上的点，它的坐标满足方程f(x，y)0.2ABC中，若B、C的坐标分别是(2,0)、(2,0)，中线AD的
7、长度是3，则A点的轨迹方程是()Ax2y23 Bx2y24Cx2y29(y0) Dx2y29(x0)答案C解析易知B、C中点D即为原点O，所以|OA|3，所以点A的轨迹是以原点为圆心，以3为半径的圆，又因ABC中，A、B、C三点不共线，所以y0.所以选C.3已知A(1,0)，B(2,4)，ABC的面积为10，则动点C的轨迹方程是()A4x3y160或4x3y160B4x3y160或4x3y240C4x3y160或4x3y240D4x3y160或4x3y240答案B解析由两点式，得直线AB的方程是，即4x3y40，线段AB的长度|AB|5.设C的坐标为(x，y)，则510，即4x3y160或4x
8、3y240.4在下列图中方程表示图中曲线的是()答案C解析对于A，方程x2+ y2=1表示一个完整的圆对于B，x2y2=(x+y)(xy)=0，它表示两条相交直线对于D，由lgx+lgy=0知xy=1，x0且y0.5. 设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A、B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若=2，且= 1，则P点的轨迹方程是 ()A3x2y21(x0，y0)B3x2y21(x0，y0)C.x23y21(x0，y0)D.x23y21(x0，y0)答案D解析如图所示，若P(x，y)，则A，B(0,3y)，(x，y)，1，x23y21(x0，y0)，即为点P轨
9、迹方程6设动点P是曲线y2x21上任意一点，定点A(0，1)，点M分PA所成的比为21，则点M的轨迹方程是()Ay6x2 By3x2Cy3x21 Dx6y2答案A解析设点M的坐标为(x0，y0)，因为点A(0，1)，点M分PA所成的比为21，所以P点的坐标为(3x0,3y02)，代入曲线y2x21得y06x，即点M的轨迹方程是y6x2.7点P(a，b)是单位圆上的动点，则Q(ab，ab)的轨迹方程是_答案x22y10解析设Q(x，y)则因为a2b21，即(ab)22ab1.所以x22y1.所以点Q的轨迹方程是x22y10.8平面上有三个点A(2，y)，B(0，)，C(x，y) 若，则动点C的轨
10、迹方程为_答案y28x解析，(0，)(2，y)(2，)，(x，y)(0，)(x，)因为,所以,所以(2，)(x，)0，即y28x.所以动点C的轨迹方程为y28x.9过点P(2,4)作两条互相垂直的直线l1、l2.若l1交x轴于A点，l2交y轴于B点，求线段AB的中点M的轨迹方程解方法一设点M的坐标为(x，y)M为线段AB的中点，A的坐标为(2x,0)，B的坐标为(0,2y)l1l2，且l1、l2过点P(2,4)，PAPB，kPAkPB1.而kPA(x1)，kPB，1(x1)整理，得x2y50(x1)当x1时，A、B的坐标分别为(2,0)、(0,4)，线段AB的中点坐标是(1,2)，它满足方程x
11、2y50.综上所述，点M的轨迹方程是x2y50.方法二设M的坐标为(x，y)，则A、B两点的坐标分别是(2x,0)、(0,2y)，连结PM.l1l2，2|PM|=|AB|.而|PM|=，|AB|=，化简，得x+2y5=0，为所求轨迹方程. 方法三l1l2，OAOB，O、A、P、B四点共圆，且该圆的圆心为M，|MP|=|MO|，点M的轨迹为线段OP的中垂线 kOP= = 2，OP的中点坐标为(1,2)，点M的轨迹方程是y 2= (x 1)，x+2y5=0.方法四设点M的坐标为(x，y)，则A(2x,0)，B(0,2y)，PAPB，即， =0.（2x-2，-4）（-2，2y-4）=0，即-2（2x
12、-2）-4（2y4）=0，化简得：x+2y-5=0.10. 设F（1，0），点M在x轴上，点P在y轴上，且=2， .当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程.解 设 M（a,0）,P(0,b),动点N（x,y）,则=（x-a,y）,=(-a,b),(1，b)因为2， ，所以且ab20.上述方程组消去a，b，得y24x.所以动点N的轨迹方程为y24讲练学案部分21.1曲线与方程对点讲练知识点一曲线的方程与方程的曲线如果曲线C上的点的坐标满足方程F(x，y)0，则下列说法正确的是()A曲线C的方程是F(x，y)0B方程F(x，y)0的曲线是CC坐标不满足方程F(x，y)0的点都不在曲线C上D坐标
13、满足方程F(x，y)0的点都在曲线C上答案C解析直接法：原说法写成命题形式即“若点M(x，y)是曲线C上的点，则M点的坐标适合方程F(x，y)0”，其逆否命题即“若M点的坐标不适合方程F(x，y)0，则M点不在曲线C上”，此即说法C.特值方法：作如上图所示的曲线C，考查C与方程F(x，y)=x2 1=0的关系，显然A、B、D中的说法全不正确【反思感悟】“曲线上的点的坐标都是这个方程的解”，阐明曲线上点的坐标没有不满足方程的，也就是说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外，“以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点”，阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏设方程f(x，y)0的解集非空，如果命题“坐标满足方程f(x
