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1、2010年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（北京卷）第卷一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.（2010北京，理1）集合P=xZ|0x3，M=xR|x29，则PM等于A.1，2B.0，1，2C.x|0xq），且不同课程是否取得优秀成绩相互独立.记为该生取得优秀成绩的课程数，其分布列为0123Pab（1）求该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率;（2）求p，q的值;（3）求数学期望E.解：事件Ai表示“该生第i门课程取得优秀成绩”，i=1，2，3.由题意知P（A1）=，P（A2）=p，P（A3）=q.（1）由于事件“该生至少有
2、1门课程取得优秀成绩”与事件“=0”是对立的，所以该生至少有1门课程取得优秀成绩的概率是1-P（=0）=1-=.（2）由题意知P（=0）=P（）=（1-p）（1-q）=，P（=3）=P（A1A2A3）=pq=.整理得pq=，p+q=1.由pq，可得p=，q=.（3）由题意知a=P（=1）=P（A1）+P（A2）+P（A3）=（1-p）（1-q）+p（1-q）+（1-p）q=.b=P（=2）=1-P（=0）-P（=1）-P（=3）=.E=0P（=0）+1P（=1）+2P（=2）+3P（=3）=.18.（2010北京，理18）已知函数f（x）=ln（1+x）-x+x2（k0）.（1）当k=2时，求
3、曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程;（2）求f（x）的单调区间.解：（1）当k=2时，f（x）=ln（1+x）-x+x2，f（x）=-1+2x.由于f（1）=ln2，f（1）=，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程为y-ln2=（x-1），即3x-2y+2ln2-3=0.（2）f（x）=，x（-1，+）.当k=0时，f（x）=-.所以，在区间（-1，0）上，f（x）0;在区间（0，+）上，f（x）0.故f（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+）.当0k0.所以，在区间（-1，0）和（，+）上，f（x）0;在区间（0，）上，f（x）1时，由f（x）=
4、0，得x1=（-1，0），x2=0.所以，在区间（-1，）和（0，+）上，f（x）0;在区间（，0）上，f（x）0.故f（x）的单调递增区间是（-1，）和（0，+），单调递减区间是（，0）.19.（2010北京，理19）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-.（1）求动点P的轨迹方程.（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M，N，问：是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等?若存在，求出点P的坐标;若不存在，说明理由.解：（1）因为点B与点A（-1，1）关于原点O对称，所以点B的坐标为（1，-1）.设点P的坐标为（x，y
5、）.由题意得=-，化简得x2+3y2=4（x1）.故动点P的轨迹方程为x2+3y2=4（x1）.（2）解法一：设点P的坐标为（x0，y0），点M、N的坐标分别为（3，yM）、（3，yN），则直线AP的方程为y-1=（x+1），直线BP的方程为y+1=（x-1）.令x=3得yM=，yN=.于是PMN的面积SPMN=|yM-yN|（3-x0）=.又直线AB的方程为x+y=0，|AB|=2，点P到直线AB的距离d=，于是PAB的面积SPAB=|AB|d=|x0+y0|.当SPAB=SPMN时，得|x0+y0|=.又|x0+y0|0，所以（3-x0）2=|x02-1|，解得x0=.因为=4，所以y0=
6、.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为（，）.解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为（x0，y0）.则|PA|PB|sinAPB=|PM|PN|sinMPN.因为sinAPB=sinMPN，所以.所以，即（3-x0）2=| -1|，解得x0=.因为=4，所以y0=.故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P的坐标为（，）.20.（2010北京，理20）已知集合Sn=X|X=（x1，x2，xn），xi0，1，i=1，2，n（n2）.对于A=（a1，a2，an），B=（b1，b2，bn）Sn，定义A与B的差为A-B=（|a1-b1|，|a2-b2|，|an-bn|）; A与B之间的距离为d（A，B）=.（1）证明：A，B，CSn，有A-BSn，且d（A-C，B-C）=d（A，B）;（2）证明：A，B，CSn，d（A，B），d（A，C），d（B，C）三个数中至少有一个是偶数;（3）设PSn，P中有m（m2）个元素，记P中所有两元素间距离的平均值为（P），证明：（P）.证明：（1）设A=（a1，a2，an），B=（b1，b2，bn），C=（c1，c2，cn）Sn.因为ai，bi0，1，所以|ai-bi|0，1（i=1，2，n）.从而A-B=（|a1
